图论法用于供水管网水力计算的研究Word文档格式.docx
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图1
图2
图1中有一水库A，三个给水点B、C、D，Q1表示水库节点供水量，Q2\,Q3\,Q4分别表示B、C、D节点的用水量。
管段视为网络图中的对应边，管段的直径、管长、管道流量、摩损系数等作为管段对应边的权。
至此，与管网同构的网络图生成了。
图中箭头表示各条边的方向，即管段中水流方向。
网络图中节点与边的关联函数可以用完全关联矩阵I4×
5表示如式
（1）所示。
顶点边的编号
（1）
式中：
Iij={1，表示j管段与i节点相连，且管内水流流离该节点；
0，表示此管段不与该节点关联；
-1，表示j管段与i节点相连，且管内水流流入该节点。
完全关联矩阵与管段流量列向量q以及节点流量列向量Q可组成管网节点方程（即连续方程）Iij×
q+Q=0,q=（q1,q2,q3,q4,q5）T,Q=（Q1,Q2,Q3,Q4）T。
网络图的生成树（全涉及树）可以有很多种，在计算时可以任选一种。
在本例中，选1、2、4这3条边为图的生成树，则补树（余树）的各边（弦）为3、5.各弦将与枝构成基本回路，一个基本回路中有且仅有1条弦。
用基本回路矩阵Bf表示则如式
（2）所示。
枝1
2
4
弦3
5
Bf=
[
-1
1
]
（2）
式中每一行表示一个基本回路（环）。
环的方向以该环对应弦的方向为准。
“-1”表示管段中的流向与环中弦的方向相反，“1”表示相同，“0”表示该管段不在此环内。
Bf可用矩阵B和单位阵U表示为式（3）。
Bf=［B｜U］,其中B=
（3）
环阵与管段摩损列向量hf构成环方程如式（4）所示。
摩损向量的元素顺序与Bf中每行元素所对应的管段顺序相同。
Bf×
hf=0。
其中hf=（h1,h2,h4,h3,h5）T
（4）
图论理论中，连续方程用割方程代替。
每个割方程只含一根枝，并和相关的弦构成割集，将图2分割成互不连通的脱离体。
这样，图中就有3个割集。
割集和割集阵Af如式（5）所示：
割集K：
割阵：
Af=[枝124弦35]（5）
K1=（e1,e3,e5）1001-1
K2=（e2,e3,e5）010-11
K3=（e4,e5）00101
割阵Af中，每一行表示一个割集。
图中有3根枝，所以就有3个割集。
割阵中，“+1”表示该管段在此割集内，且管段流向与此割集内的枝中的流向相同，“-1”表示流向相反，“0”表示该管段不在此割集内。
式（5）的割阵Af和割集K一一对应。
割阵Af可用一个矩阵A和一个单位阵U表示为：
Af=［U｜A］,其中A=
［
］
割阵与流量列向量可构成割方程。
根据图论理论，割阵的行向量与环阵的行向量正交，这种关系可用式（6）表示。
[B|U]·
[U|A]T=0或者[U|A]·
[B|U]T=0
（6）
所以有B=-AT或者A=-BT。
这样，环阵可以由割阵求出，反之亦然。
关联矩阵通过选主元初等行变换即可得到割阵：
先选关联阵第一行中一非零枝元素为主元，并使其为+1，消去其它各行中此主元；
再选第二行、第三行、…的主元，最后即得割阵Af。
因此，可以由关联矩阵导出割阵和环阵。
2图论法模型
任何管道的水力计算都可以用管段流量q\,水头损失h\,管径D\,管长L和管壁条件C等5个因素来描述。
一般D、L和C为已知条件，只有q和h未知。
因此，求解一个管网的水力平衡问题，可从两方面考虑：
一是利用q和h的关系，消去h，以q为未知量计算，求出q后，反求h；
二是首先消去q，以h为未知量计算；
解出h之后，再反求。
图论法也可从这两方面入手，即求弦流量式和求枝摩损式。
前者只适用于环状网，而后者则适用于所有类型的管网，所以本文着重介绍后者。
设一管网有J个节点，P条管段，L个环，则三者满足L=P-J+1的关系。
管网的每一管段都有q和h两个未知量，因而未知量的个数为2P。
但管网环方程有L个，线性无关的连续性方程有J-1个，总数为L+J-1=P个，不能求解2P个未知量［１］。
因此，必须借助P个管段摩损方程式。
管段摩损方程式线性化后的通式如（7）和（8）所示。
系数R称为阻尼系数，Y称为传导系数。
R和Y的具体形式与所选用的摩损公式有关，是D、C、L的函数。
摩损公式线性化后，R还是q的函数，Y还是h的函数。
不过，在求解过程中，总是把R和Y当作已知量来对待。
阻尼式：
h=R×
q
（7）
传导式：
q=Y×
h
（8）
式中R和Y是阻尼系数和传导系数矩阵。
如果摩损公式采用Hazen-William公式，则有：
q=10.68q1.852L/（C1.852D4.87）=10.68L|q|0.852/（C1.852D4.87）q
（9）
R=10.68L|q|0.852/（C1.852D4.87）
（10）
Y=1/R=C1.852D4.87/（10.68L|q|0.852）=C1.852D4.87/（10.68L）|q|-0.852
（11）
用h向量表示管段摩损：
h表示枝摩损，h′表示弦摩损；
用q向量表示管段流量：
q枝管段流量，q′表示弦管段流量。
割方程的右端项Q为脱离体所含节点流量之和。
方环程：
Bf×
h=0,即[BU]×
［h］=0（12）
h′
割方程：
Af×
q=Q,即[UA］×
［q］=Q（13）
q′
传导式：
［q］=［Y0］×
［h］（14）
q′0Y′h′
求枝摩损式（以管段摩损为未知量）：
首先将传导式（14）代入割方程（13）得：
［UA］×
Y
×
=Q
（15）
Y′
h′
由环方程（12）可得Bh+h′=0，即h′=-Bh，代入式（15）得：
［Y0］×
［h］=Q（16）
0Y′-Bh
即h×
［Y-AY′B］=Q（17）
根据正交定理得：
h×
［Y+AY′AT］=Q（18）
这就是图论法的求枝摩损式计算公式。
h即为枝管段的摩损向量。
解得枝摩损值h后，其余变量可由相应的公式求出。
由环方程可得h′=-B×
h，即可求出弦摩损向量h′,q、q′向量可以由式（14）求得。
式（11）中C1.852×
D4.87/10.68×
L对某一管段来说是个常数，可用W表示。
则传导系数Y可以表示为：
Y=W×
｜q｜-0.852
（19）
在迭代计算时，第一次可以直接用W代替Y进行计算，求出h\,q后计算Y，再求新的q值，如此反复计算，直至前后两次的q值符合给定的误差标准为止。
为了避免可能出现的数值摆动现象，在第三次迭代时，用前两次迭代结果的流量平均值作为初始流量值［２］，即：
q=q（１）+q
（2）2
（20）
求得q（3），……，这样收敛速度加快。
3管网附件
实际管网中，有许多控制、安全、量测设施，如加压泵、控制阀、逆止阀、减压阀等附件，对管网运行产生重要影响。
传统计算方法都未涉及到管网附件问题，不仅使计算准确性受损，而且其计算程序无法用于日常管理工作。
图论法处理管网附件时，将附件所在管段视为特殊管段，这些管段的摩损式要根据其附件的水力学特征计算摩损值，再加入到管网中进行水力平衡计算。
本文给出几种较常见管网附件的处理方法。
对于其它附件，具体问题具体处理，在此就不一一详述了。
3.1普通阀门闸板式阀门是用得最多的一种阀门，在一般的水力计算过程中，闸板式阀门的水头损失计算一般引用公式hf=ξ×
v2/2g,ξ值见文献[3]。
其中，a表示管段中过水断面的高度，d表示管段直径，a/d表示阀门开关。
当开度为0时，阀门完全关闭，没有流量通过；
当开度为1时，阀门完全打开，对水流不产生影响。
将阀门水头损失公式用流量表示为：
hf=ξ×
v2/2g=ξ×
2q2/π2gD2
则阻尼系数R为：
R=2ξq/π2gD2;
传导系数为：
Y=π2gD2/2ξ×
q-1
计算时只需将闸板式阀门的R或Y值加入，即可计算。
蝶阀的计算方法与闸板式阀门类似
3.2逆止阀逆止阀是管网中最常见的设备之一，是水流方向控制设备，只允许水流单向通过。
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