完整版无穷级数总结Word文件下载.docx
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5级数Un收敛的必要条件：
limUn0；
n1n
①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；
③若Un发散，则limUn0未必成立．n1n
二、常数项级数审敛法
1.正项级数及其审敛法
1定义：
若Un0，则Un称为正项级数.
2
充要条件：
正项级数
审敛法：
Un收敛的充分必要条件是其部分和数列有界
（ii）比较审敛法：
设Un①与Vn②都是正项级数，且Un%（n1,2丄）,
n1n1
则若②收敛则①收敛；
若①发散则②发散•
A.若②收敛，且存在自然数N，使得当nN时有Unkvjk0）成立，则①收
敛；
若②发散，且存在自然数N，使得当nN时有Unkvn（k0）成立，则
①发散；
B.设Un为正项级数，若有p1使得un2（n1,2,L），贝UUn收敛；
若
n1nn1
1
Un（n1,2,L），贝UUn发散•
nn1
C.极限形式：
设Un①与Vn②都是正项级数，若limb|（0|），则
n1n1nVn
Un与Vn有相同的敛散性.
常用的比较级数：
a
11.
①几何级数：
arn1
1r
r1•
n1
发散
r1
②p级数：
［收敛
P
1时.
nrnp发冃攵
1时，
③调和级数：
11
1发散.
n1n
n
（iii）比值判别法（达郎贝尔判别法）设an是正项级数，若
①limr1，则an收敛；
②limr1，则发散.
nann1nann1
若lim1，或liman1，推不出级数的敛散.例丄与厶，虽然
nannn1nn1n
lim1，|imnan1，但-发散，而&
收敛•
nann■n1nn1n
（iv）根值判别法（柯西判别法）设an是正项级数，lim、,an，若1，
级数收敛，若1则级数发散.
（v）极限审敛法：
设Un0，且limnPUnl，则①limnpUnl0且p1，则级nn
数Un发散；
②如果p1，而limnpUnl（0l）,则其收n1n
敛.（书上P317-2-
（1））
凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要
条件.
2.交错级数及其审敛法
设Un0（n1,2丄），则
（1）n1Un称为交错级数•
2审敛法：
莱布尼兹定理：
对交错级数
（1）n1Un，若UnUn1且limUn0，
‘n
贝u
（1）nu收敛•
比较Un与Un1的大小的方法有三种：
1比值法，即考察也1是否小于1；
Un
2差值法，即考察UnUn1是否大于0；
3由Un找出一个连续可导函数f（x），使Unf（n）,（n1,2,）考察f（x）是否小于0.
3.一般项级数的判别法：
1若Un绝对收敛，则Un收敛.
2若用比值法或根值法判定|Un|发散，则Un必发散.
三、幕级数
anxn称为幕级数.
n0
2.收敛性
①阿贝尔定理：
设幕级数
anXn在X00处收敛，则其在满足XIX0的所
有x处绝对收敛.反之，若幕级数anxn在X1处发散，则其在满足xXin0
的所有X处发散.
②收敛半径
（i）定义：
若幕级数在XXo点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在
一个正数R，使得①当XXoR时，幕级数收敛；
②当
xXoR时，幕级数发散；
R称为幕级数的收敛半径•
（ii）求法：
设幕级数anXn的收敛半径为R，其系数满足条件lim
n0n
或nlim器丙I，则当01时，R1;
当10时，R，当I时，R0.
求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.
（iii）收敛半径的类型
A.R0，此时收敛域仅为一点；
B.R，此时收敛域为（
C.R=某定常数，此时收敛域为一个有限区间.
3.幕级数的运算（略）
4.
幕级数的性质
x/，x（n!
出其假设和函数s（x）与其导数s（x）的关系），从而得到新级数的和函数；
系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数.
②数项级数求和
SnU1U2
UnUk.根据Sn的求法又可分为：
直接法、拆项法、递
推法.
A.直接法：
适用于uk为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；
k1
B.拆项法：
把通项拆成两项差的形式，在求n项和时，除首尾两项外其余各项对
消掉.
lims（x）.
x1
过逐项微分或积分求得和函数S（x）•因此an
四、傅里叶级数
1.定义
①定义1：
设f（x）是以2为周期的函数，且在［,］或［0,2］上可积，则
称为函数f（x）的傅立叶系数.
f（x）〜a。
称为函数f（x）的傅立叶级数，表示为
（ancosnxbnsinnx）.
3定义3:
设f（x）是以2l为周期的函数，且在［1,1］上可积，则以
11n
anf（x）cosxdx,（n0,1,2），
l1l
bn1:
f（x）sin^xdx,（n1,2）为系数的三角级数
丄a0（ancos—xbnsinnx）称为f（x）的傅立叶级数，表示为
2n111
f（X）〜1a0
zn・n、
（ancosxbnsinx）.
lI
n1ll
2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f（x）在区间［,］上满足条件
①除有限个第一类间断点外都是连续的；
②只有有限个极值点，
则f（x）的傅立叶级数在［,］上收敛，且有
3.函数展开成傅氏级数
①周期函数
、2
［,］上为奇函数，f（X）〜bnsinnx（正弦级数），bn0f（x）sinnxdx
（n1,2,）；
f（x）0xl
B.f（x）为［0,l］上的非周期函数，则令F（x）；
则F（x）除x0外
f（x）,lx0
在［,］上为奇函数，f（x）〜bnsin
}x（正弦级数），bn
ln
0f（x）sinTxdx
（n1,2,）.
（ii）偶延拓:
A.f（x）为［0,］上的非周期函数，令F（x）
f（x）,0x
f（x）,x0'
则F（x）除x
］上为偶函数，心尸号
ancosnx
弦级数）,a
-°
f（x）cosnxdx（n
0,1,2,）.
B.f（x）为［0,1］上的非周期函数，令F（x）
f（x）〜巴ancos^—x（余弦级数），a
2n1l
解题步骤：
f（x）,0f（
l
x）,l
xl0，则
0f（x）cos
—xdx（nl
1画出图形、验证狄氏条件•画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性;
2求出傅氏系数；
3写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于f（x）.
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