完整版无穷级数总结Word文件下载.docx

1、5级数 Un 收敛的必要条件： lim Un 0 ；n1 n级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；若 Un 发散，则 lim Un 0 未必成立 n1 n二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法1定义：若 Un 0 ，则 Un 称为正项级数 .2充要条件：正项级数审敛法：Un 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界（ii ） 比较审敛法：设 Un与 Vn都是正项级数，且Un %（n 1,2丄）,n 1 n 1则若收敛则收敛；若发散则发散A.若收敛，且存在自然数N，使得当n N时有Un kvjk 0）成立，则收敛；若发散，且存在自然数 N，使得当n N时有Un kvn（k 0）成立，则发散；B.

2、设 Un为正项级数，若有 p 1使得un 2（n 1,2,L ），贝U Un收敛；若n 1 n n 11Un （n 1,2,L ），贝U Un 发散n n 1C.极限形式：设 Un与 Vn都是正项级数，若limb |（0 | ），则n 1 n 1 n VnUn与 Vn有相同的敛散性.常用的比较级数：a1 1 .几何级数： arn 11 rr 1 n 1发散r 1p级数：收敛P1时.n r np 发冃攵1时，调和级数： 1 11 发散.n 1 nn（iii） 比值判别法（达郎贝尔判别法）设 an是正项级数，若lim r 1，则 an收敛；lim r 1，则 发散.n an n 1 n an n

3、1若lim 1，或lim an 1，推不出级数的敛散.例 丄与 厶，虽然n an n n 1 n n 1 nlim 1， |im n an 1，但 -发散，而 & 收敛n an n n 1 n n 1 n（iv） 根值判别法（柯西判别法）设 an是正项级数，lim、, an ，若 1，级数收敛，若 1则级数发散.（v）极限审敛法：设Un 0，且lim nPUn l，则lim npUn l 0且p 1，则级 n n数 Un发散；如果p 1，而lim npUn l（0 l ）,则其收 n 1 n敛.（书上 P317-2- （1）凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法正 项级

4、数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件， 是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法设Un 0（n 1,2丄），则 （1）n 1Un称为交错级数2审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 （1）n 1Un，若Un Un 1且lim Un 0， n贝u （ 1）n u收敛比较Un与Un 1的大小的方法有三种：1比值法，即考察也1是否小于1；Un2差值法，即考察Un Un 1是否大于0；3由Un找出一个连续可导函数f（x），使Un f（n） ,（n 1,2,）考察f （x）是否小于0.3.一般项级数的判别法：1若 Un绝对收敛，则 Un收敛.2若用比值法或根值法判定 |Un |发散，则 Un必发散

5、.三、幕级数 anxn称为幕级数.n 02.收敛性阿贝尔定理：设幕级数anXn在X0 0处收敛，则其在满足X I X0的所有x处绝对收敛.反之，若幕级数 anxn在X1处发散，则其在满足x Xi n 0的所有X处发散.收敛半径（i）定义：若幕级数在X Xo点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R，使得当X Xo R时，幕级数收敛；当x Xo R时，幕级数发散；R称为幕级数的收敛半径（ii）求法：设幕级数 anXn的收敛半径为R，其系数满足条件limn 0 n或nlim器丙I，则当0 1 时，R 1 ;当10时，R ， 当I 时，R 0 .求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用

6、公式，后一个则须分奇、 偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出 现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.（iii）收敛半径的类型A. R 0，此时收敛域仅为一点；B. R ，此时收敛域为（C.R=某定常数，此时收敛域为一个有限区间.3.幕级数的运算（略）4.幕级数的性质x / ，x （ n!出其假设和函数s（x）与其导数s（x）的关系），从而得到新级数的和函数；系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代 数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数 的和函数.数项级数求和Sn U1 U2

7、Un Uk .根据Sn的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.A.直接法：适用于 uk为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求 n项和时，除首尾两项外其余各项对消掉.lim s（x）.x 1过逐项微分或积分求得和函数S（x） 因此 an四、傅里叶级数1.定义定义1：设f （x）是以2为周期的函数，且在,或0,2 上可积，则称为函数f（x）的傅立叶系数.f （x）a。称为函数f （x）的傅立叶级数，表示为（an cos nx bn sin nx）.3定义3:设f（x）是以2l为周期的函数，且在1,1上可积，则以1 1 nan f （x）cos

8、 xdx, （n 0,1,2 ），l 1 lbn 1 : f（x）si nxdx,（n 1,2 ）为系数的三角级数丄a0 （an cos x bn sin n x）称为f （x）的傅立叶级数，表示为2 n 1 1 1f（X）1a0z n n 、（an cos x bn sin x）.l In 1 l l2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数 f（x）在区间,上满足条件除有限个第一类间断点外都是连续的；只有有限个极值点，则f（x）的傅立叶级数在,上收敛，且有3.函数展开成傅氏级数周期函数、 2,上为奇函数，f（X） bn sin nx （正弦级数），bn 0 f （x）sin nxdx（n 1

9、,2,）；f （x） 0 x lB. f（x）为0,l上的非周期函数，则令F（x） ； 则F（x）除x 0外f （ x）, l x 0在,上为奇函数，f（x） bn sinx（正弦级数），bnl n0f（x）s inTxdx（n 1,2,）.（ii ）偶延拓:A. f（x）为0,上的非周期函数，令F（x）f （x）, 0 xf （ x）, x 0 则F （x）除x上为偶函数，心尸号an cosnx弦级数）,a- f （x）cos nxdx （n0,1,2,）.B. f （x）为0,1上的非周期函数，令F（x）f（x）巴 an cosx（余弦级数），a2 n 1 l解题步骤：f（x）, 0 f（lx）, lx l0，则0 f （x）cosxdx （n l1画出图形、验证狄氏条件画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性;2求出傅氏系数；3写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f （x）.