数学中考冲刺.docx

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数学中考冲刺

2015年中考冲刺

二次函数

1.如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：

y=x﹣5上．

（1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。

若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。

若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

3.如图，抛物线经过三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．

4.某商店经营一种小商品，进价为2．5元，据市场调查，销售单价是13．5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件

（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围．

（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？

最大利润是多少？

（注：

销售利润＝销售收入－购进成本）

5.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：

每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？

最大利润是多少？

（3）请画出上述函数的大致图象．

6.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数

7.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线PC与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）求证：

AB=2BC；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．（12分）

8.如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．

（1）求证：

PA·PB=PC·PD；

（2）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：

EF⊥AD：

（3）若AB=8，CD=6，求OP的长．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．（14分）

求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．

10.如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4．

（1）求证:

与相似；

（2）求的值；

（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，求的度数．（14分）

11.如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．

解决问题

（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述

（1）中的结论仍然成立吗？

如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）

12.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）

A．B．C．3D．4

和正方形有关的证明题

例3（2013•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？

说明你的理由；

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．

思路分析：

（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）与

（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．

一个边长为a（单位：

cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：

DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？

若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

∴∠B=∠D=∠BAD=90°，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，

∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，

∵∠1=∠2=110°，

∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°，

∴∠4=90°-70°=20°，

∴∠α=20°．

故答案为20°．

点评：

本题考查了旋转的性质：

旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．

例10（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：

AE=BC；

（2）如图

（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：

CE′=BF′；

（3）在

（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？

若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

思路分析：

（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；

（2）由旋转的性质可知：

∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；

（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．

解答：

（1）证明：

∵AB=BC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=36°，

∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，

∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，

∴AE=BE，BE=BC，

∴AE=BC．

（2）证明：

∵AC=AB且EF∥BC，

∴AE=AF；

由旋转的性质可知：

∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中，

∴△CAE′≌△BAF′，

∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，

理由：

由

（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，

如图：

①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°．                                   

②当点E的像E′与点N重合时，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°-2×72°=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．

所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．

点评：

此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．

对应训练

9．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为1.6

．

9．1.6

10．（2013•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：

AB⊥AE；

（2）若BC2=AD•AB，求证：

四边形ADCE为正方形．

10．证明：

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，

∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，

∴∠BAE=45°+45°=90°，

∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=AD•AB，

而BC=AC，

∴AC2=AD•AB，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，

∴四边形ADCE为矩形，

∵CD=CE，

∴四边形ADCE为正方形．

考点六：

图形的折叠

例11（2013•河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3

．

思路分析：

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．

解：

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

∴AC==5，