三角函数解题技巧和公式已整理.docx

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三角函数解题技巧和公式已整理

三角函数解题技巧和公式（已整理）

浅论关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：

一、关于的关系的推广应用：

1、由于故知道，必可推出，例如：

例1已知。

分析：

由于

其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。

解：

∵

故：

2、关于tg+ctg与sin±cos，sincos的关系应用：

由于tg+ctg=

故：

tg+ctg，，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。

例2若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2n的关系为（）。

A．m2=nB．m2=C．D．

分析：

观察sin+cos与sincos的关系：

sincos=

而：

故：

，选B。

例3已知：

tg+ctg=4，则sin2的值为（）。

A．B．C．D．

分析：

tg+ctg=

故：

。

答案选A。

例4已知：

tg+ctg=2，求

分析：

由上面例子已知，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。

由于tg+ctg=

，此题只要将化成含sincos的式子即可：

解：

=+2sin2cos2-2sin2cos2

=（sin2+cos2）-2sin2cos2

=1-2（sincos）2

=1-

=

=

通过以上例子，可以得出以下结论：

由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。

这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。

但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。

这是由于（）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。

方法如下：

例5已知：

tg=3，求的值。

分析：

由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：

cos；

解：

由于tg=3

故，原式=

例6已知：

ctg=-3，求sincos-cos2=?

分析：

由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：

及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg：

解：

例7（95年全国成人高考理、工科数学试卷）

设，

求：

的值

分析：

此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于，故，在等式两边同除以，托出分母为底，得：

解：

由已知等式两边同除以得：

“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

由于，，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。

而添加分母的方法主要有两种：

一种利用，把作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：

的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：

可以从公式中得到启示：

式子与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含的式子，由于-1≤≤1，

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：

不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：

中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：

-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：

由于。

故可设：

，则，即：

∴

无论取何值，-1≤sin（A±x）≤1，

≤≤

即：

≤≤

下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：

例1（98年全国成人高考数学考试卷）

求：

函数的最大值为（A）

A．B．C．D．

分析：

，再想办法把变成含的式子：

于是：

由于这里：

∴

设：

∴

无论A-2x取何值，都有-1≤sin（A-2x）≤1，故≤≤

∴的最大值为，即答案选A。

例2（96年全国成人高考理工科数学试卷）

在△ABC中，已知：

AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：

sinα取何值时，△EFD的边长最短？

并求此最短边长。

分析：

首先，由于，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于，则∠B=

90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为，且要列出有关为未知数的方程，对进行求解。

观察△BDE，已知：

∠B=60°，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于的方程。

在图中，由于EC=·cosα，则BE=BC-EC=1-·cosα。

而∠B+∠BDE+∠1=180°

∠α+∠DEF+∠1=180°∠BDE=∠α

∠B=60°，∠DEF=60°

∴在△BDE中，根据正弦定理：

在这里，要使有最小值，必须分母：

有最大值，观察：

∴

设：

，则

故：

∴的最大值为。

即：

的最小值为：

而取最大值为1时，

∴

即：

时，△DEF的边长最短，最短边长为。

从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极值问题。

计算极值时与式子的加、减是无关，与的最值有关；其中最大值为，最小值为。

在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

　　一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.

　　（kπ+α）=（-1）ksinα（k∈Z）；2.cos（kπ+α）=（-1）kcosα（k∈Z）；

　　3.tan（kπ+α）=（-1）ktanα（k∈Z）；4.cot（kπ+α）=（-1）kcotα（k∈Z）.

　　二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

α+cosα>0（或<0）óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

　　2.sinα-cosα>0（或<0）óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

　　3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

　　4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

　　三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

　　四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

　　五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：

已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

　　六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

　　（α+β）sin（α-β）=sin2α-sin2β;2.cos（α+β）cos（α-β）=cos2α-sin2β.

　　七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

　　（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

　　1.若sinα+cosα=t,（且t2≤2）,则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

　　2.若sinα-cosα=t,（且t2≤2）,则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

　　八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

　　tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.思考：

tanα-tanβ=？

　　九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：

（A≠0）

　　1.函数y=Asin（wx+φ）和函数y=Acos（wx+φ）的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

　　2.函数y=Asin（wx+φ）和函数y=Acos（wx+φ）的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

　　3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan（wx+φ）和函数y=Acot（wx+φ）的对称性质。

　　十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

　　1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.（asinx+bcosx）2=（a2+b2）sin2（x+φ）≤（a2+b2）;

　　+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

　　十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

　　=1-2sin2x=2cos2x-1.

　　=（x+y）+（x-y）;2y=（x+y）-（x-y）;x-w=（x+y）-（y+w）等

角函数公式

两角和公式

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）倍角公式tan2A=2tanA/[1-（tanA）^2]cos2a=（cosa）^2-（sina）^2=2（cosa）^2-1=1-2（sina）^2sin2A=2sinA*cosA

半角公式

sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B））2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB积化和差公式sin（a）sin（b）=-1/2*[cos（a+b）-cos（a-b）]cos（a）cos（b）=1/2*[cos（a+b）+cos（a-b）]sin（a）cos（b）=1/2*[sin（a+b）+sin（a-b）]

万能公式sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan^2（a/2））cos（a）=（1-tan^2（a/2））/（1+tan^2（a/2））tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan^2（a/2））

倒数关系:

商的关系：

平方关系：

tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α