江西省南昌市届高三第一次模拟考试理科数学试题含答案解析文档格式.docx
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A.关于直线X=1対称B.关于直线X=-l对称
C.关于y轴对称D.关于点（0,0）对称
/输"
/
F<
d2>
ai
7.已知直线/的方程是2.v+y+7n=0,则“原点。
在总线/的右上方”是“点J（2,-l）在直线/的右上方”的
A.充分不必要条件B.必耍不充分条件
C.充耍条件D.既不充分也不必要条件
8.已知正数a、b,c满足2“=dog,zAr（4vk<
l6）・则
y=-x~-2xy=x2-2x
/输出>
'
结束
A.a<
b<
c
B.b<
a<
C・c<
b
D・a<
c<
9.许多建筑融入了敌学元素.更具神韵.数学賦F了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽
致.已知右側左图足单•叫双曲而《由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形〉型建铤，右图是其中截而最细附近处的部分图象，古、下底面与地面平行•现测紂卜•底直径AB二20Vi0米.上底直径CD=20、5AB与CD间的距离为80来,与上下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为_
A.10米B.20米C.10>
?
3米D.10^5米
10.sinf—-2x）cos（x-.则sin（—-jc）=663
c.
11・如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图.己知储油罐长度为〃，截而半径为r（d.r为常
最）.油面咼度为力.油面宽度为储油量为v
（九S为变量），则下列说法:
1W是V的函数
③力是W的函数英中正确的个数是
A.1个B2个
2卩是w的函数
④w是力的函数
C.3个D.4个
12.
则正实数a的最小值是
D.1
己知f（x）=|x+fl|-sin（2x+y）的最小值为0,
C.
•1
A.一
2
二・填空题：
本题共4小题，每小题5分•共20分.
13.己知：
=（1,2）,|引=5,72=10,则向&
a,b夹角的余弦值为•
14.（2-x）”的展开式中只有第4项的二项式系数大，则展开式中工的系奴为.
15.2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的冇效率.同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组.各组感染人数如下：
调査人数兀
300
400
500
600
700
感染人数y
3
6
7
并求得y与x的回归方程为y=0.0\\x+a.同期.在人数均为10000的条件下.以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数.记为N；
注射疫苗后仍被感染的於数记为川，则估计该疫苗的有效率为—•（疫苗的有效率为-炉参考数据」09.5,0.009132；
结果保留3位有效
数字）
16.如图，ABCD是圆台的轴asm,AB=3CD=6,AD=2近,过
点D与力D垂直的平面交下底圆周于E,F两点，则四面体CDEF的体积为.
三.解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；
第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.（12分）已知｛“”｝为公差不为0的等差数列，且apa4,aI3成等比数列.
（I）求｛兔｝的通项公式；
（II）设―-—,求数列｛®
｝的前"
项和s”.
⑵j-i）匕
18.
/C丄BC,侧面AA,C,C是矩形,
（12分）如图三棱柱中，CA=CB=2,侧面BBGC是菱形，ZB,5C=60°
D是棱〃妨的中点.
（I）求证：
33,丄平面ACD；
（II）设E是衲的中点,求二面角E-CD-A的余弦值.
19.（12分）己知函数/（x）=（x-b）c*-#（x-b+l）2（a>
0,bwR,e为自然对数的底数）.（I〉当b=2时，讨论/（x）的单调性：
（II）若/Xx）在R上单调递增，求证：
ca-^h.
20.（12分）为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分,答错一个扣5分.每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求笫二类题中至少抽2个.学生小明笫一类5题中冇4个能答对.第二类題中答对每个
问题的概率都是工.
4
（I）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率：
（II）若小明第一•个题是从第一类题中抽出井回答正确，根据御分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽多少个题回答？
21.（12分）已知抛物线E:
x2=2py（p>
0）的焦点为F,过点F且斜率为斤（*工0）的动直线/与抛物线交于/，〃两点，貢线/'
过点A（X|,y,）,R点F关于直线/'
的对称点为&
州,-1）.
（I）求抛物线E的方程，并证明直线/'
是拗物线E的切线;
（II）过点〃且垂直于『的直线交y轴于点G,AG.BG与抛物线E的另一个交点分别为C,D,记MG3的面积为S「△CGD的面积为S?
求虽的取值范囤.
S.
（二）选考题：
共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
{
x=sina+2cosa兀•l
宀・（Q为参数）•直线/的极坐标方程为：
psin（^+-）=V2.
y=cosa-2smcz4
（I）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程：
（II）设儿3是曲线C与直线/的公共点，点P的坐标为（2,0）,求\\PA\-\PB\\的值.
23.（10分）选修4-5：
不等式选讲
已知/（x）=|x-11+1ax+21（a>
0）.
（丨）当a=2时，求不等式/（x）>
3的解集；
（II）若不等式/（x）>
|恒成立，求a的取值范曲.
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中■只有一
2^5
■-
5
14.-160
15.0,817
8^2
项是符合题目要求的.
题号
1
J•
8
9
to
11
12
答案
D
C
A
B
二填空题:
本大题共4小题,每小题5分，满分20分.
三・解答题：
共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.【解析】
（I）设｛乙｝的公差为〃，因为旳宀，如成等比数列，
所以3（3+12〃）=（3+3/）2,即t/2-2c/=0,2分
解得d=0（舍去）或d=2,4分
所以a”=2n+l；
6分
・8分
10分
12分
"
、二1I」1
（II）bn=—（
”（2«
-1）（271+1）22/1-12n+\所以Q二丄（1—丄+丄一丄+...+）
23352n-l2n+V
二丄（1-一）=•
22»
+12w+l
1&
【解析】
（I）因为侧面AA.C.C是矩形，所以/C丄CG，1分
又由条件/C丄BC,BCC]CC严C,所以/C丄平面CC"
B,
BB、u平面CC、B\B,所以丄BB、,3分
又因为侧面BBGC是菱形，ZB\BC=6$,
D是的中点，所以丄CD,5分
且ACf）CD=C,所以BQ丄平面ACD.6分
（II）因为/C丄平面CC"
B,所以平面BBQC丄平面ABC,如图以C为原点，C4,CB所在直线分别为x轴，y轴，过点C在平面内BB、C\C且垂直CE的直
线为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz,则力（2,0,0）,风0,2,0）胡（0,1,命）£
（0,-1,命），》（0,|，¥
），C^=G4+CC；
=（2-1,V3）,所以E（l,0,J亍）…8分平面ACD的一个法向量为丽;
=（0,-1,岳,设平面ECD的法向量«
=（x,y,z）,
n丄CE=>
（也”z）・（1,0,V3）=0=>
x+VJz=0，
11分
令y=1=>
z=-y/3,x=3=>
n=（3,1,-^3）,（两平面法向量各一分）所以cos<
n,BBl>
=—=_夕—，
2x79+1+313
所以所求二面角的余弦值为色叵・•….
13
19.【解析】
（b=2时，/（x）=（x-2）er-^（x-l）2,
/（x）=（x-10-a（x-l）=（x-l）（e”一a）,2分
因为Q>
0,所以：
1若Ina<
1即0<
ave时，由/'
（兀）<
（）得Ina<
x<
1,
由f（x）〉0得x>
1或x<
Ina：
2若Int?
>
1即a>
e时，f\x）<
0得1<
xvlna,
/'
（x）>
0得x<
l或x>
lna；
3若lna=1即a=e时，f（x）>
0恒成立，（每步讨论各1分）5分
故当0<
e时，/（力的单调减区间为（Ino,l）,单调增区间为（-8,lna）,（l,+oo）；
当a〉e时，于（兀）的单调减区间为（ljntz）,单调增区间为（一oo,l）,（lna,+s）；
当q=c时，/（x）在R上单调递增；
6分
（II）f（x）=（x-b+T）（ex-a）t由己知/（x）在尺上单调递增，
则（兀一b+l）（"
-a）20恒成立，由讨论可知b-l=lna,即b=lna+l,8分
而待证不等式为b<
ea~],故只需证明lna+l<
ea-\
证明：
设g（a）=ea'
-lna-\,则g'
⑷=0门-丄，9分
a
因为g'
（a）单调递增，且g'
（l）=0,故当g'
（a）v0时0va<
l；
当0⑷>
0时a>
l,即g（a）在（0,1）单调递增，在（l,+oo）单调递减，
则g⑷Ag（l）=0,得Ina+lS严,即不等式得证.12分
20.【解析】
（I）该同学答对3个题有两种情况,
第二种情况是第一类题对2个，第二类题对1个,
2Cl24440
第一种情况是第一类题对1个，第二类题对2个;
所以概率为：
P=（-）2+^4xC；
x-xl=,
C；
4C；
24420
（II）若小明后三题选择从第一类题中抽取1道，从第二类题中抽取2道进行作答,
设后三题得分为X分，则X的所有可能取值为：
—10,0,15,25,40,50,则
P（X=25）=-xC'
x-x-=—；
424464
33327
p（^=50）=-x-x-=—；
（每个概率0.5分）
44464
1q977
b25x—+40x—+50x—=35；
6464……
P（X=15）=丄xC；
x丄=2
1339
P（I40）=—W二:
44464
64
设后三题答对Z道，得分为Y分,
/.£
X=（-10）x—+I5x—
64646464
若小明后三题选择从第二类题中抽取3道进行作答,
则Z〜B（3,》，y=20xZ-5x（3-Z）=25Z-15?
所以£
K=25EZ-15=25x--15=—,11分
44
所以EX<
EY,即后三题应都从第二类题中抽取作答，得分期望会高.12分
（另解）若后面三个题都选择难题：
记这三个题答对的个数为X,则X〜〃（3,才）,
3993205
EX=3x-=-9总得分期望是10+20x--5x-=—分，8分
44444
若后面三个题选择一个中等题、两个难题：
335
则中等题总得分期望是:
10+10x-=—分，
42
记两个难题答对题数为Y,则丫〜
则EY=2x-=-t
42
3155
则两个难题得分期望是20x一-5x-=—,
222
3555此时，总得分期望是—+—=45分，
22
205
因为一>
45,所以后面三个题应该都选择难题.
21•【解析】
（I）由点2?
（xp-l）坐标，知曲与直线y=-\垂直，
关于过点力的直线厂对称,可得\AF|=|AR\,2分
所以直线y=-l为抛物线准线，所以p=4,抛物线方程为x2=4yt4分
因此点F（0,l）,所以心■尺二一纟，从而直线厂的斜率为卫，
西2
又抛物线方程为尹=各，得=所以过点/的切线斜率为中，
I厶乙
所以厂为抛物线切线得证；
（II）设B（xB,yB\C（xc,yc\D（xD,yD）fG（0"
）.
由题意kRr=kAC，=得f=M+2,
—XjXj
因为必>
0,所以/>
2,令直线方程为_y=Ax+l（kH0）,
联立彳
x2=4y4
y「并化简得x2-4Ax-4=0，得到x}xB=-4,即勺二一一
y=kx+\不
设直线FC方程：
y=k}x+it
x2=4y.▲4t
得x^-4^x-4/=0,则x.xc=-4/,即乞=，
y=^x+t兀I
同理可得沁=一俎,因此xD=—=tx]f
XB
14f
c-\CG\\DG\sinZCGD..I__IItx\I
由亠■==IV^=_L_=Z2>
4>
亠-\AG\\BG\sinZAGB旳兀訂\x{\\-—\
2X]
所以*的取值范围是（4,+oo）.
dl
x-2y
sina=-
22.【解析】
（I）由已知，＜
宀5,消参可得C:
x2+/=5,
2x+v
cosa=—
/+=+=nx+y一2=0.
9%x=2-亍
（II）P在直线Z上，且/的斜率为-1,故设/的参数方程为：
L（/为参数）a
将其代入C的普通方程可得：
尸_2施一1=0,则十=2近,V2=-l……8分
故||以|-|"
冃山-仏卜“+乙冋血.10分23.【解析】
（I）当a=2时，不等式/（兀）＞3为|x-l|+|2x+2|＞3,
当兀5—1时，（1一尢）+（-2x-2）＞3,此时xv—亍
当一1＜xW1时，（1—对+（2兀+2）＞3,此时0＜兀＜1；
当兀＞1时，（x-l）+（2x+2）＞3=＞x＞"
|,此时x＞1;
（每步讨论各一分）
所以，当*2时，不等式/（x）>
3的解集为{x|x<
-|或x>
0}.
（II）由a>
0,知一一vl,讨论如下:
当xv——、f（x）=\-x-ax-2=-（l+a）x-\,由一（l+a）<
0,知/（"
）>
/（——），aa
5254
则/（兀）n£
恒成立等价于/（--）>
4,解得o<
^<
-；
2a23
2当——<
x<
1,/（a）=l-x+ax+2=（tz-l）x+3,a
i4
，解得—•—~J
523
/⑴与
当x>
1»
/（x）=x-l+ax+2=（l+«
）x+l,（1+a）>
0
则/（x）>
-恒成立等价于/
（1）>
-,解得丄；
14
综上，aw[—，一]•
23
|恒成立等价于•
，故/«
>
/（!
）>
（每步讨论1・5分）
（另解）由性质可知,
函数/（x）的最小值在x=1或％=—取到,a
a+2>
—
214
rc，解得一—・
2+1/23
a2
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