概率论与数理统计公式集合Word文档下载推荐.docx
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P(Aj|B)—盟
SP(Aj)P(BAi)
\=1
伯努利概型公式
Pn(k)=C;
;
pk(1—p)n^,k=0,1,…n
两件事件相互独立相
应公式
P(AB)=P(A)P(B);
P(B|A)=P(B);
P(Ba)=P(BA);
P(BA)+P(BA)=1;
p(b|a)+p(b|A)=1
、随机变量及其分布
1、分布函数性质
P(X空b)二F(b)P(a:
X乞b)二F(b)—F(a)
2、离散型随机变量
分布名称
分布律
0-1分布B(1,p)
P(X=k)=pk(l—p严,k=0,1
二项分布B(n,p)
P(X=k)=ckpk(1—p)n」,k=0,1,…,n
泊松分布P⑴
-k
P(X=k)=e』—,k=0,1,2,…k!
几何分布G(p)
P(X=k)=(1—p)k'
p,k=0,1,2,…
超几何分布H(N,M,n)
Ckcn~k
P(X=k)_-M-N』,k=丨,丨+1,…,min(n,M)cN
3、连续型随机变量
密度函数
分布函数
均匀分布U(a,b)
f(x)
'
1
acxcbb—a
0,其他
F(x)=
0,xcax—a,aWx£
bb—a
1,xKb
指数分布E仏)
byx》of(x)
、0,其他
F(x)=丿
0,xcO
]-e*x,x^O
正态分布N(巴/)
(x_q2
1~2~2~
f(x)=—e口<
x<
七之
P2兀<
T
(t-內2
1x—
F(x)=—fedt
V2naq
标准正态分布N(0,1)
x2
1—
申(x)=〒^^e2
兀
(MJ)2
1/2y
F(x)=.——[edt
v2hctq
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
Pi.=P(X=xjP(X=Xi,Y=yj)Pij
jj
pj=P(Y=yj)二"
P(x=Xi,Y=yj)二"
pij
i
2、
离散型二维随机变量条件分布
Pij
二P(X=XjY二yj)=史■兰■出二巴,i=1,2■■jP(丫Fj)Pj.
P(X=Xj,Y=yj)Ph
Pji
.p—yjxg.p(xsj喈,日2
3、
连续型二维随机变量(X,丫)的联合分布函数F(x,y)
xy
二f(u,v)dvdu
JJO2-^0
4、
连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
边缘分布函数:
Fx(x)二
X
-be
f(u,v)dvdu
边缘密度函数:
fx(X)二f(x,v)dv
^0
a
y
■be
■ho
f(u,v)dudv
fY(y)f(u,y)du
Fv(y)二
5、
二维随机变量的条件分布
fYx(yx)」(x,y)
y.;
-亠fx(x)'
y
fxY(Xy)二[(X,y)厂:
:
x:
fy(y)
四、
随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量:
HoD
E(X)八XkPk
k丄
连续型随机变量:
E(X)二xf(x)dx
2、数学期望的性质
(1)E(C)=C,C为常数
E[E(X)]二E(X)
E(CX)=CE(X)
(2)E(X_Y)=E(X)_E(Y)E(aX_b)=aE(X)_bE(GXiCnXn)=CiE(Xi)CnE(Xn)
⑶若XY相互独立则:
E(XY)=E(X)E(Y)
(4)[E(XY)]2_E2(X)E2(Y)
3、方差:
D(X)二E(x2)—E2(X)
4、方差的性质
(1)D(C)=0D[D(X)]=0D(aX_b)=a2D(X)D(X):
E(X-C)2
(2)D(X_Y)=D(X)D(Y)_2Cov(X,Y)若XY相互独立贝"
:
D(X_Y)=D(X)D(Y)
5、协方差:
Cov(X,Y)二E(X,Y)—E(X)E(Y)若XY相互独立则:
Cov(X,Y)=0
6、相关系数:
怙二彳x,Y)=—Cov(X,Y)若XY相互独立则:
浊=0即XY不相关
Jd(x)Jd(¥
)
7、协方差和相关系数的性质
(1)Cov(X,X)二D(X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
(2)Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)Cov(aXc,bYd)=abCov(X,Y)
&
常见数学分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布B(1,p)
P
p(1-p)
二行分布B(n,p)
np
nP(1—P)
泊松分布PQJ
扎
人
1p
1—P
2p
超几何分布H(N,M,n)
Mn—
N
MMN_m
n(1—)
NNN1
均匀分布U(a,b)
a+b
2
(b-a)2
12
正态分布N(H<
j2)
指数分布E⑺
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
鼻n鼻n
2、大数定律:
若Xi…Xn相互独立且n》:
时,_、、•Xi—D_.—VE(Xi)nyny
(2)若X—Xn相互独立同分布,且E(Xi)-叫则当n_—时:
―、Xi—P」
ny
3、中心极限定理
大时有:
7Xk-nJ
YnJN(0,1)
.n;
「
⑵拉普拉斯定理:
随机变量n(n=1,2…)~B(n,p)则对任意X有:
nXXk—nP-
⑶近似计算:
P(a匹Xk9)=P(弟兰一兰与竺)g(竺叱)虫(耳兰)
k仝JnbJnbinbp'
nb+‘ncr
六、数理统计
1、总体和样本
总体X的分布函数F(x)样本(Xi,X2Xn)的联合分布为F(X1,X2Xn):
|丨F(Xk)
2统计量
(1)样本平均值:
XXi
(2)样本方差:
S2-(Xi_X)2-(Xi2_nX)
nyn-—n-怕
-nn
⑶样本标准差:
s二17(Xi一刃2(4)样本k阶原点距:
AkXik,k=1,2…
Yn-ny
1n_
(5)样本k阶中心距:
Bk二Mk二―7(Xi-X)k,k=2,3…
(6)次序统计量:
设样本(X1,X2…Xn)的观察值(X1,X2…Xn),将X1,X^Xn按照由小到大的次序重新排列,得到X⑴沙
(2)「*X(n),记取值为X(q的样本分量为X(q,则称X
(1)乞X
(2)「乞Xg为样本(X1,X2…Xn)的次序统计量。
X
(1)=minq,X2…Xn)为最小次序统计量;
X(n)=maX<
(,X2…Xn)为最大次序统计量。
3、三大抽样分布
(1)2分布:
设随机变量X1,X<
Xn相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则随机变
量2=X12X2x2所服从的分布称为自由度为n的2分布,记为2~2(n)
性质:
①E[2(n)]=n,D[2(n)]=2n②设X~2(m),丫〜2(n)且相互独立,则XY~2(m-n)
所服从
⑵t分布:
设随机变量X~N(0,1),Y~2(n),且X与丫独立,则随机变量:
的分布称为自由度的n的t分布,记为T~t(n)
(X-M)2
①E[t(n)]=0,D[t(n)]—,(n2)②limt(n)=N(0,1)=1e疋
n—2V2n
⑶F分布:
设随机变量U〜2(n)V〜2免),且U与V独立,则随机变量Fg,n?
)=U°
所
Vn2
服从的分布称为自由度(mri2)的F分布,记为F〜Fg,匕)
设X~F(m,n),贝卩丄〜F(n,m)X
七、参数估计
1、参数估计
(1)定义:
用吋Xl,X2,…Xn)估计总体参数二,称h(Xl,X2,Xn)为的估计量,相应的吋Xi,X2,…Xn)为总体二的估计值。
(2)当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值二未知参数的最大似然估计值
2、点估计中的矩估计法:
(总体矩二样本矩)
n斗
离散型样本均值:
X二E(X)=-^Xi连续型样本均值:
X二E(X)二[xf(x,r)dx
ni£
二
dn
离散型参数:
E(X2)Xi2
nX
3、点估计中的最大似然估计
最大似然估计法:
Xi,X2,Xn取自X的样本,设X~f(X,d)[或P(X=Xi)=P㈢]则可得到概率、nnn
密度:
f(Xi,X2,…XnC):
|]f(Xi,初或P(X=Xi,X2,…Xn=Xn)P(X=Xi)=:
R&
)]
i1i47
基本步骤:
nn
1似然函数:
L(r)八f(Xi,v)[或[[RU)]
i=1i=1
2取对数:
InLInf(XiJ)
i壬
3解方程:
=0,…,」^=0最后得:
才-V1(X1,X2,…Xn),…,Tk-Vk(Xi,X2,…Xn)
k