微分方程稳定性Word格式.docx

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t_L:

则称平衡点x0是稳定的（渐进稳定）；

否则，称冷是不稳定的（非渐进稳定）。

判断平衡点xo是否稳定通常使用的方法有两种。

利用定义式（1.2）的方法称为间接法。

不求方程式（1.1）的因而不方程式（1.2）的方法称为直接法。

下面介绍直接法。

将f（x）在xo点处作泰勒展开，只取一次项，方程式（1.1）可近似为

x（t）=f（Xo）（X-Xo）（1.3）

方程式（3）称为方程式

（1）的近似线性方程，也是方程式（3）的平衡点。

关于x0点稳定有如下结论：

（1）.若f（xo）＜o，则对于方程式（1.3）和（1.1）都是稳定的；

（2）.若f（xo）＞o，则对于方程式（1.3）和（1.1）都是不稳定的。

xo对于方程式（1.3）的稳定性很容易通过定义式（1.2）证明。

记f（xo）=a，则方程式（3）的一般解为

x（t）二ceatxo

其中，c是有初始条件确定的常数。

显然，当a＜o时，方程式（1.3）成立。

2•二阶方程的平衡点和稳定性

二阶方程可用两个一阶方程表示为

収⑴二f（Xf,X2）

（1.4）

X2（t）=g（^,x2）

等号右端不显然含t,是自治方程。

代数方程组

f（^,X2）=0

g（x「X2）=0

的实根Xi=Xi°

，X2=X2°

称为方程式（1.4）的平衡点。

记作卩0（才必0）。

如果存在谋和领域，使方程式（1.3）的解X,（t），X2（t）从这个领域的某个

I.Xi（0）,X2（0）1出发，满足

lim%（t）二x/jimx2（t）二x20（1.5）

t.'

‘t_.

则称平衡点P0是稳定的（渐进稳定）；

不然，称P0是不稳定的（不渐进稳定）。

为了用直接法讨论方程式（1.4）的平衡点的稳定性，先看线性系数方程

（1.6）

x1（t）=a1x1a2x2

X2（t）知1b2X2

系数矩阵记作

为研究方程式（1.6）的唯一平衡点的稳定性，假定A的行列式

（1.7）

5（0,0）的稳定性由式（1.6）的特征方程

det（A-l）=0（1.8）

的根（特征根）决定。

方程式（1.8）可以写成更加清晰的形式

「2

丸+p^+q=0

P--⑻b2）

iq=detA

将特征根记作‘1,‘2，则

■i,，2二？

（-P-P2-4q）

因此方程式（1.6）的一般解的形式为

Ge'

*+0^^（為式為）或c1e^'

^c2te^tp^=人2）

其中，G,02为任意常数。

根据稳定性的定义式（1.5）可知，当^,-2为负数或有负实部时，p0（0,0）是稳定平衡点；

当’i,'

2有一个为正数或有正实部时，Po（O,O）是不稳定平衡点。

在式（1.7）的条件下，'

1,'

2不可能为零。

微分方程稳定性理论讲平衡点分为结点，焦点，鞍点，中心等类型，完全由特征根'

1,-2或者是相对应的p,q取值决定。

表一简单明了地给出了这些结果，表中最后一列值是按照定义式（1.5）得到的关于稳定性的结论。

由表一可以看出，根据特征方程系数p,q的正负可以判断平衡点的稳定性，

准则如下：

（1）若p>

0,q>

0,则平衡点稳定；

（2）若p<

0或q<

0，则平衡点不稳定。

表一•稳定性条件判定

人、）-2

p,q

平衡点类型

稳定性

入<

\<

p>

0,p>

4q

稳定结点

稳定

扎,>

打>

p<

不稳定结点

不稳定

人<

0<

丸2

q<

鞍点

）|_1=/i_2<

0,p=4q

稳定退化结点

；

>

_1=/i_2>

2

不稳定退化结点

為,2=。

±

和，□<

0,q<

0,p<

稳定焦点

打,2=a±

仰，口>

不稳定焦点

Z1,2=a±

Bi,a=0

p=0,q>

o

中心

以上是对线性方程式（1.6）的平衡点po（O,O）稳定性的结论，对于一般的非

线性方程式（1.4），可以用近似线性方法判断其平衡点po（O,O）的稳定性。

在po点

处将f（Xi,X2）和g（X|,X2）做泰勒展开，只取一次项，得到非线性方程式（1.4）的

近似线性方程。

（1.9）

Xi（t）二fx,（Xi0,X20）（X^Xi0pfx2（Xi0,X20）（X2-X20）

X2（t^g）i（x10,X20）（x^x10）gx2（Xi0,X20）（X2-X20）

记系数矩阵为

A=[Jfx2]Po（x1O,X2O）

g>

qgX2

特征方程系数为

卩一代gx）Poq二dAt

显然，Po点对于近似方程（1.9）的稳定性由表一或者准则（1.1），（1.2）决定，而且得出以下结论，若近似线性方程式（1.9）的特征根不为零或者实部不为零，那么po点对于方程式（1.4）的稳定性与对于近似线性方程式（1.9）的稳定性相同，即由准则

（1），

（2）决定。

最后，提出几点注意事项：

（1）平衡点及其稳定性的概念只对自治方程和方程式（1.4）才有意义。

（2）非线性方程式（1.4）及式（1.7）的平衡点稳定性分别与相对应的近

似线性方程式（1.6）和近似线性方程式（1.9）的平衡点稳定性相同,且是在

非临界情况下（a=0或者p，q=0）才相同。

在临界情况下（a=0或

者p，q=0）二者的平衡点稳定性可能不相同。

（3）在讨论平衡点稳定性时，对初始点式的要求是存在一个领域，这是

局部稳定的定义。

如果要求对任意的初始点，方程式（1.5）和方程式（1.8）成立，称为全局稳定。

对于线性方程，局部稳定和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。

（4）对于临界情况和非线性方程的全局稳定，可以用相轨线分析方法讨

.捕鱼业的持续收获模型

渔业资源是一种可再生资源，再生资源我们也要注意开发利用。

我们既不能为了一时高产而竭泽而渔，那样肯定后破坏渔业资源的再生产；

反过来，如果我们过分限制了渔业资源的捕捞，又会造成渔业资源的浪费。

在一个渔场中，其中的鱼按照自然规律生长。

如果捕捞量等于增长量，那么渔场的总量将保持在某一数值上。

最佳捕捞量的确定就是本章节研究的内容。

模型假设：

1.设在t时刻下渔场的鱼量为x（t）；

2.在无捕捞的条件下鱼量的增长服从Logistic规律。

即

x

x（trf（x）二rx

（1）

N

其中，r为固有增长率；

N为环境的最大容纳鱼量；

f（x）为单位时间增长量;

3.单位时间的捕捞量g（x）与渔场鱼量x（t）成正相关，比例系数k称为捕捞强度:

g（x）=kx

模型建立（产量模型）：

根据以上假设，我们可以得出捕捞情况下渔场鱼量的一个微分方程，记为：

x（t）二rX1卜kx（2.01）

我们关心的是k在取何值的时候才能保证在渔业稳定的情况下获得最大持续产量。

为此我们可以直接求出方程式（2.01）的平衡点并分析其稳定性。

模型求解：

令F（x）=f（x）-g（x）=rx（1-x）-kx=0，得到两个平衡点：

k

x’=N（1——，X2=0。

（2.02）

r

可以算出F（x）：

=r-k-空，则

F（xJ=k-r，F（X2）=r-k，所以

1.若k:

:

r，有F（x）<

0,F（x2）>

0;

则治点稳定，x2点不稳定。

2.若kr，有F（xi）>

0,F（X2）<

则x点不稳定，X2点稳定。

3.若k二r,r为最大增长率。

上述分析表明只要捕捞适度，即捕捞强度小于自然增长率（k：

：

r）就可以

使鱼量保持在xi点处，并获得持续产量g（xj=k（xi）;

当捕捞过度，即捕捞强度大于自然增长率（kr）就会导致鱼量减至X2=0,当然就谈不上持续产量了。

在近一步讨论当鱼量稳定在了xi点时，如何控制捕捞强度k使得持续产量取得最大的问题。

建立直角坐标系作出y=f（x）=rx（1…兰）和y=g（x）=kx的图形，如图

（1）

注意到y=f（x）二rx

（1）在原点处的切线为y=rx，在kr下y=kx必然N

与y=f（x）=rx（1-兰）有交点p，p的横坐标就是稳定平衡点捲。

在两条直线之N

间，当y=kx与y二f（x）二rx（1x）在抛物线顶点p*相交时，可以获得最大持续

产量，此时稳定平衡点为

x*』（2.03）

且单位时间的最大持续产量为

rN

gmax二——（2.04）

4

此时可以算出保持渔场鱼量稳定的最大捕捞强度为

max

综上所述，产量模型的结论是将最大捕捞强度控制在自然生长率的一半,者说是使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，可以获得持续的最大产量

建立模型（效益模型）：

问题提出：

从经济角度看，保持产量最大，效益不一定就最好，为此我们在保证渔场鱼量稳定的情况下还得考虑怎样的捕捞强度才能使得经济效益的最大化。

4.假设经济效益是捕捞所获得的收入来扣除捕捞开支后的利润来进行计量；

5.假设鱼的单价为p，单位捕捞强度为a，单位时间的利润为R。

模型建立（效益模型）：

R=pkx-ak（2.05）

在稳定条件（x二为）下，将方程式（2.02）代入方程式（2.05）中得到

R（k）=pNk1k）ak（2.06）

为了求出最大利润，我们对方程式（2.06）求导

R（k）二pN-a

当R（k）=0时可以得到满足利润达到最大时的捕捞强度为：

将kmax代入X^N（^k）可得最大利润下渔场稳定鱼量Xmax以及单位时间持

续产量gmax为：

通过产量模型与效益模型的结果比较可以看出，在最大效益前提下捕捞强度

和持续产量都有所减少，渔场鱼量有所增多。

并且当捕捞成本（a）增加时，捕鱼强度和单位时间持续产量将减小，渔场稳定鱼量将增多；

当销售价格（p）增加时捕捞强度和单位时间持续产量将增大，渔场稳定鱼量将减少，这显然是符合实际情况的。

建立模型（捕捞过度）：

在上述模型中均是以圭寸闭式捕捞为前提，即渔场是由单独的经营者经营并进行有计划的捕捞。

如果是开放式捕捞，那么众多的经营者必然会为了最求自己经济效益的最大化而进行盲目的捕捞，从而造成捕捞过度，那么上述模型将不适用。

下面讨论这个模型。

方程式（2.06）给出了利润与捕捞强度的关系R（k），令R（k）=0的解为ks，可

以解得：

ks=r（^—）（2.10）

pN

当k:

ks时利润R（k）0，众多的经营者必然会加大捕捞强度；

当kks时利

润R（k）：

0，他们肯定会减小捕捞强度。

所以ks是开放式捕捞下的临界强度。

我们将方程式（2.10）代入式（2.02）中可以得出在开放式捕捞下渔场的稳定鱼量为：

xs=a

p

我们可以看出在开放式捕捞下渔场的稳定鱼量完全有成本一价格的比例所决定了，随着价格的上涨和成本的降低，Xs将迅速减小，出现捕捞过度。

通过将方程式（2.10）和方程式（2.07）进行比较，可得ks=2kmax，即在开放式捕捞下的捕捞强度是最大效益下捕捞强度的2倍。

模型评价与应用：

为了研究渔业的产量，经济效益和捕捞过度的问题，首先在自然增长和捕捞情况的合乎常理的假设下，建立了方程式（2.01），并且运用平衡点稳定性对保持渔场鱼量稳定的条件进行了分析。

产量模型，效益模型和过度捕捞模型都是在稳定的前提下一步步进行，一步步深入，推导过程简单，但结果在定性关系上却是与实际情况相符合的。

如果改变了自然增长和捕捞情况的假设，那么模型和结果将改变

三.两种群的相互竞争模型

在自然界中一直以来就有着这么一句话“适者生存，不适者淘汰”。

在同一

个自然环境中有多个种群共同存在，它们相互依存或相互竞争亦或是相互捕食。

近年来，随着环境问题的日益频发和自然生态平衡的打破，生态学越来越为人们

所重视，数学生态学也应运而生。

数学中的抽象概念和推理方法对未来生态学起到了显著地作用。

在研究实际问题中，我们关心的或许并不是系统与时间变化的过程，而是系统最终的发展状态（稳定）。

在同一个自然环境中有两个种群生存，它们之间是相互竞争关系，即它们会为了生存而去争夺它们共同的食物和生存空间。

在这种情况下，随着时间的推移必然后有一种生物灭亡，另一种生物达到该自然环境下的最大容纳量。

本章将从稳定状态角度建立一个模型来分析这种局面的产生条件。

1•假设存在A,B两个种群，它们在t时刻下的数量分别为为t,X2（t）；

X!

t，

X2（t）为关于t的连续函数；

2.当它们分别在同一自然环境下生存时，数量的增长服从Logistic规律，即:

X1（t）=r十）X2（t）=2X（°

^^）

NN2

其中，ri，r2，Ni，N2分别为A,B两个种群在该自然环境下的固有增长率

和最大容纳量；

（1）表示的是该物种自身对环境资源的消耗对它本身增长的

阻滞作用。

个可以看成是在假设环境资源总量为1下，相对于最大容纳量N而言单位数量的该物种所消耗的环境资源。

模型建立：

A消耗的生物资源必然会对B

（1-生）中减少一项，该项与A

N2

当这两个种群在该自然环境下共同生存时，

的增长产生一定的影响，故而我们可以合理的在的数量X1成正比，我们可以得到种群B的增长方程为:

*2（t）二护2（1一骨-b善）（3.01）

N2N1

b表示的是相对于Ni单位数量的种群A消耗的生物资源量是相对于N2单位数量的种群B消耗的生物资源量的b倍。

同样的B的存在于影响了A的增长，种群B的增长方程为：

X）x2,、

Xit二riXi（1--a-）（3.02）

NiN2

a表示的是相对于N2单位数量的种群B消耗的生物资源量是相对于Ni单位数量的种群A消耗的生物资源量的b倍。

我们可以看出：

如果a>

i，那么在消耗供养种群A的生物资源中，种群B消耗的多于种群A消耗的，故而种群B对种群A的阻滞作用大于种群A本身对于自己的阻滞作用，即种群B的竞争力强于种群A;

如果b>

i,那么在消耗供养种群B的生物资源中，种群A消耗的多于种群B消耗的，故而种群A对于种群B的阻滞作用大于种群B本身对于自己的阻滞作用，即种群A的竞争力强于种群B。

由于a，b之间没有确切的数量关系，故我们认为两个种群在消耗资源中对

物种A的阻滞作用和对物种B的阻滞作用是相同的。

因为单位数量的种群A和

B消耗的供养种群A的生物资源的比为i:

a，消耗供养种群B的生物资源的比为b:

i，阻滞作用相同即i:

a=b:

i，我们可以定量表示为

ab=i

我们假设Ni=i00,N2=i00，a=2，b=0.5，r-i=3，r2=2，k（0）=i0,X2（0）=i0,运用MATLAB编程如下：

functiondx=shier（t,x,r1,r2,N1,N2,a,b）

N1=100,N2=100,a=2,b=0.5,r1=3,r2=2;

dx=[r1*x

（1）*（1-x

（1）/N1-a*x

（2）/N2）;

r2*x

（2）*（1-b*x

（1）/N1-x

（2）/N2）];

ts=0:

0.i:

15;

x0=[10,5];

[t,x]=ode45（'

shier'

ts,x0）;

[t,x]

plot（t,x）,grid,gtext（'

xi（t）'

）,gtext（'

x2（t）'

）pause,

plot（x（:

1）,x（:

2））,grid,xlabel（'

x1'

）,ylabel（'

x2'

）

得出图像如下所示:

图表（3）

稳定性分析：

根据方程式（3.01）和方程式（3.02）求解代数方程组

得到四个平衡点：

Pl=（Ni,0），P2=（0,N2），P3（N；

（1a）,N：

（1b）），P4=（0,0）

1-ab1-ab

因为平衡点只有在平面坐标系第一象限的时候，才具有实际的意义，故而对

于P3而言则a,b同时小于1，或者大于1

根据种群竞

争模型的平衡点

及稳定条件：

P

q

稳定条件

心1,0）

「1_「2（1_b）

-亿（1-b）

av1,b>

1

MN）

_ri（1_a）+r2

—r1r2（1-a）

a〉1,bc1

p，T1ba））

1-ab

口（1a）+r2（1b）

亿（1-a）（1—b）

1-ab

a<

1,bc1

P4（0,0）

-（r1*r2）

我们可以看出只有Pl,P2点是稳定的，故而两种群竞争必然会有一个灭亡

参考文献

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科学出版社，2007

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北京大学出版社，1987

4.王定江.《应用偏微分方程》浙江：

浙江大学出版社2007

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清华大学出版社，2012

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1674-9340（2010）02-052-03

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1008-830X（2012）04—0374-05

8.冯立邱.《对常微分方程的稳定性分析》辽宁省阜新市细河区职业教育中心