微分方程稳定性Word格式.docx

1、t_ L :则称平衡点x0是稳定的（渐进稳定）；否则，称冷是不稳定的（非渐进稳定）。判断平衡点xo是否稳定通常使用的方法有两种。利用定义式（1.2）的方法 称为间接法。不求方程式（1.1）的因而不方程式（1.2）的方法称为直接法。下 面介绍直接法。将f（x）在xo点处作泰勒展开，只取一次项，方程式（1.1）可近似为x （t） = f （Xo）（X - Xo） （1.3）方程式（3）称为方程式（1）的近似线性方程， 也是方程式（3）的平衡点。关于x0点稳定有如下结论：（1） .若 f （xo）o，则 对于方程式（1.3）和（1.1）都是稳定的；（2） .若 f （xo）o，则 对于方程式（1.3

2、）和（1.1）都是不稳定的。xo对于方程式（1.3）的稳定性很容易通过定义式（1.2）证明。记f （xo） = a，则方程式（3）的一般解为x（t）二 ceat xo其中，c是有初始条件确定的常数。显然，当ao时，方程式（1.3）成立。2二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表示为収二 f （Xf,X2）（1.4）X2（t） =g（,x2）等号右端不显然含t,是自治方程。代数方程组f（,X2）=0g（xX2）=0的实根Xi =Xi， X2 =X2称为方程式（1.4）的平衡点。记作卩0（才必0）。如果存在谋和领域，使方程式（1.3）的解X,（t）， X2（t）从这个领域的某个I.Xi（

3、0）,X2（0） 1 出发，满足lim % （t）二 x/jim x2（t）二 x20 （ 1.5）t . t_ .则称平衡点P0是稳定的（渐进稳定）；不然，称P0是不稳定的（不渐进稳定）。为了用直接法讨论方程式（1.4）的平衡点的稳定性，先看线性系数方程（1.6）x1 （t） = a1x1 a2x2X2 （t）知1 b2X2系数矩阵记作为研究方程式（1.6）的唯一平衡点 的稳定性，假定A的行列式（1.7）5（0,0）的稳定性由式（1.6）的特征方程det（A-l）=0 （ 1.8）的根（特征根）决定。方程式（1.8）可以写成更加清晰的形式 2丸 + p+q =0P - - b2）i q =d

4、etA将特征根记作1, 2，则i,，2 二？（-P - P2 -4q）因此方程式（1.6）的一般解的形式为Ge* +0（為式為）或 c1ec2tetp =人2）其中，G , 02为任意常数。根据稳定性的定义式（1.5）可知，当, -2为负数或有负实部时，p0（0,0）是 稳定平衡点；当i,2有一个为正数或有正实部时，Po（O,O）是不稳定平衡点。在式（1.7）的条 件下，1, 2不可能为零。微分方程稳定性理论讲平衡点分为结点，焦点，鞍点，中心等类型，完全由 特征根1,-2或者是相对应的p,q取值决定。表一简单明了地给出了这些结果， 表中最后一列值是按照定义式（1.5）得到的关于稳定性的结论。由

5、表一可以看出，根据特征方程系数 p,q的正负可以判断平衡点的稳定性，准则如下：（1） 若p0,q0,则平衡点稳定；（2） 若p0或q0，则平衡点不稳定。表一稳定性条件判定人、）-2p,q平衡点类型稳定性入 0, p 4q稳定结点稳定扎, 打p不稳定结点不稳定人0丸2q鞍点）|_1 = /i_2 _1 = /i_2 2不稳定退化结点為,2 =。 和， 0,q0, p 不稳定焦点Z1,2 = a Bi ,a =0p=0,qo中心以上是对线性方程式（1.6）的平衡点po（O,O）稳定性的结论，对于一般的非线性方程式（1.4），可以用近似线性方法判断其平衡点 po（O,O）的稳定性。在po点处将f （

6、Xi, X2）和g（X|,X2）做泰勒展开，只取一次项，得到非线性方程式（1.4）的近似线性方程。（1.9）Xi（t）二 fx,（Xi0,X20）（XXi0p fx2（Xi0,X20 ）（X2 -X20）X2（tg）i（x10,X20）（xx10） gx2（Xi0,X20）（X2 -X20）记系数矩阵为A = J fx2 Po（x1O,X2O）gq g X2特征方程系数为卩一代 gx ）Po q 二 dAt显然，Po点对于近似方程（1.9）的稳定性由表一或者准则（1.1），（ 1.2）决 定，而且得出以下结论，若近似线性方程式（1.9）的特征根不为零或者实部不 为零，那么po点对于方程式（1.

7、4）的稳定性与对于近似线性方程式（1.9）的稳 定性相同，即由准则（1），（2）决定。最后，提出几点注意事项：（1） 平衡点及其稳定性的概念只对自治方程和方程式（1.4）才有意义。（2） 非线性方程式（1.4）及式（1.7）的平衡点稳定性分别与相对应的近似线性方程式（1.6）和近似线性方程式（1.9）的平衡点稳定性相同,且是在非临界情况下（a=0或者p，q = 0）才相同。在临界情况下（ a = 0或者p，q = 0）二者的平衡点稳定性可能不相同。（3） 在讨论平衡点稳定性时，对初始点式的要求是存在一个领域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点，方程式（1.5）和方程式（1.8） 成立，

8、称为全局稳定。对于线性方程，局部稳定和全局稳定是等价的，对于 非线性方程，二者不同。（4） 对于临界情况和非线性方程的全局稳定，可以用相轨线分析方法讨.捕鱼业的持续收获模型渔业资源是一种可再生资源，再生资源我们也要注意开发利用。我们既不能 为了一时高产而竭泽而渔，那样肯定后破坏渔业资源的再生产； 反过来，如果我 们过分限制了渔业资源的捕捞，又会造成渔业资源的浪费。在一个渔场中，其中 的鱼按照自然规律生长。如果捕捞量等于增长量，那么渔场的总量将保持在某一 数值上。最佳捕捞量的确定就是本章节研究的内容。模型假设：1.设在t时刻下渔场的鱼量为x（t）；2.在无捕捞的条件下鱼量的增长服从 Logist

9、ic规律。即xx（tr f（x）二 rx（1 ）N其中，r为固有增长率；N为环境的最大容纳鱼量；f （x）为单位时间增长量;3.单位时间的捕捞量g（x）与渔场鱼量x（t）成正相关，比例系数k称为捕捞强度:g（x） =kx模型建立（产量模型）：根据以上假设，我们可以得出捕捞情况下渔场鱼量的一个微分方程，记为：x（t）二 rX1 卜 kx （2.01）我们关心的是k在取何值的时候才能保证在渔业稳定的情况下获得最大持 续产量。为此我们可以直接求出方程式（2.01）的平衡点并分析其稳定性。模型求解：令 F（x） = f （x） -g（x） =rx（1 - x） -kx =0，得到两个平衡点：kx =N

10、（1，X2 =0。 （2.02）r可以算出F（x）： =r -k -空，则F（xJ =k-r， F（X2）=r-k，所以1.若k : r，有F（x）0;则治点稳定，x2点不稳定。2. 若k r，有F（xi） 0, F（X2）i，那么在消耗供养种群 A的生物资源中，种群 B 消耗的多于种群A消耗的，故而种群B对种群A的阻滞作用大于种群A本身对 于自己的阻滞作用，即种群B的竞争力强于种群A ;如果bi,那么在消耗供养 种群B的生物资源中，种群A消耗的多于种群B消耗的，故而种群A对于种群 B的阻滞作用大于种群B本身对于自己的阻滞作用，即种群 A的竞争力强于种 群B。由于a，b之间没有确切的数量关系，

11、故我们认为两个种群在消耗资源中对物种A的阻滞作用和对物种B的阻滞作用是相同的。因为单位数量的种群 A和B消耗的供养种群A的生物资源的比为i:a，消耗供养种群B的生物资源的比 为b:i，阻滞作用相同即i:a=b:i，我们可以定量表示为ab=i我们假设 Ni =i00, N2 =i00，a =2，b =0.5，r-i =3，r2=2，k（0） =i0, X2（0） =i0, 运用MATLAB编程如下：fun cti on dx=shier（t,x,r1,r2,N1,N2,a,b）N1=100,N2=100,a=2,b=0.5,r1=3,r2=2; dx=r1*x（1）*（1-x（1）/N1-a*x

12、 （2）/N2）;r2*x （2）*（1-b*x（1）/N1-x （2）/N2）;ts=0:0.i:15; x0=10,5;t,x=ode45（shier,ts,x0）;t,xplot（t,x）, grid,gtext（xi（t）,gtext（x2（t） pause,plot（x（:,1）,x（:,2）, grid,xlabel（x1）,ylabel（x2）得出图像如下所示:图表（3）稳定性分析：根据方程式（3.01）和方程式（3.02）求解代数方程组得到四个平衡点：Pl =（Ni,0）， P2=（0,N2）， P3（ N；（1 a）, N：（1 b）， P4=（0,0）1 -ab 1 -ab

13、因为平衡点只有在平面坐标系第一象限的时候 ，才具有实际的意义，故而对于P3而言则a,b同时小于1，或者大于1根据种群竞争模型的平衡点及稳定条件：Pq稳定条件心1,0）1 _2（1_b）-亿（1-b）a v1,b1MN）_ri（1 _a） +r2r1r2（1 - a）a1,b c1p，T1ba）1 -ab口（1 a） +r2（1 b）亿（1-a）（1 b）1 - aba1,b c1P4（0,0）-（r1 * r2）我们可以看出只有Pl, P2点是稳定的，故而两种群竞争必然会有一个灭亡参考文献1.冯杰，黄力伟 .数学建模原理与案例北京：科学出版社， 20072.王春程，苏颖 .微分方程建模与分析北京：科学出版社， 20143.张锦炎 .常微分方程几何理论与分支问题北京：北京大学出版社， 19874.王定江 .应用偏微分方程浙江：浙江大学出版社 20075.何正风 .MA TLAB 在数学方面的应用北京：清华大学出版社， 20126.王景艳，杨艳丽 . 微分方程的平衡点及稳定性分析 文章编号： 1674-9340（2010）02-052-037.孙国祥 . 微分方程稳定性在数学模型中的应用 文章编号： 1008-830X（ 2012）040374-058.冯立邱 .对常微分方程的稳定性分析辽宁省阜新市细河区职业教育中心