高中数学竞赛第九讲.doc
《高中数学竞赛第九讲.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛第九讲.doc（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
大毛毛虫★倾情搜集★精品资料
第九讲数列与递进
知识、方法、技能
数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.
所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1,a2,…,an,…通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.
从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.
对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有
I．等差数列与等比数列
1．等差数列
（1）定义：
（2）通项公式：
an=a1+（n－1）d.
（3）前n项和公式：
（4）等差中项：
（5）任意两项：
an=am+（n－m）d.
（6）性质：
①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；
②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数；
③设{an}是等差数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么a m+an=ap+aq;
④设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…,Spm－S（p－1）m（m>1,p≥3，m、p∈N*）仍成等差数列；
⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和，则是等差数列；
⑥设{an}是等差数列，则{λan+b}（λ,b是常数）是等差数列；
⑦设{an}与{bn}是等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常数）也是等差数列；
⑧设{an}与{bn}是等差数列，且bn∈N*，则{abn}也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；
⑨设{an}是等差数列，则{}（c>0,c≠1）是等比数列.
2．等比数列
（1）定义：
（2）通项公式：
an=a1qn－1.
（3）前n项和公式：
（4）等比中项：
（5）任意两项：
an=amqn－m.
（6）无穷递缩等比数列各项和公式：
S=
（7）性质：
①设{an}是等比数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；
②设Sn是等比数列{an}的前n项和，则S m,S2m－Sm,S3m－S2m,…，
S pm－S（p－1）m（m>1,p≥3，m、n∈N*）仍为等比数列；
③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数）、{}（m∈Z*）仍成等比数列；
④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列；
⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}（c>0,c≠1）是等差数列.
赛题精讲
例1设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1,2,…），数列{bn}满足b1=3,bk+1=bk+ak（k=1,2，…），求数列{bn}的前n项之和.
（1996年全国数学联赛二试题1）
【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn.由ak=bk+1－b k,知求ak即可，利用
ak=Sk－Sk－1（k=2,3,4,…）可求出ak.
【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1,又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n－1.
由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得
a1=b2－b 1,a2=b3－b2,a3=b4－b3,…,an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an.即bn=b1+a1+a2+…+an=3+（1+2+22+…+2n－1）=2n－1+2,所以数列{bn}的前n项和为
Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.
【评述】求数列的前n项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.
例2求证：
若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.
【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d,60°,60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.
【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac,∠B=60°.
【方法1】由余弦定理，得
整理得（a－c）2=0因此a=c.
故△ABC为正三角形.
【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有
cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1,q=－1（舍去）
所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.
【方法3】因为b2=ac,由正弦定理：
（2RsinB）2=2RsinA·2RsinC（其中R是△ABC外接圆半径）即sin2B=sinA·sinC，把
B=60°代入得sinA·sinC=，整理得[cos（A－C）－cos（A+C）=，即cos（A－C）=1,所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC为正三角形.
【方法4】将60°－d,60°,60°+d代入sin2B=sinAsinC,
得sin（60°－d）·sin（60°+d）=，即[cos（2d）－cos120°]=.
得cos2d=1,d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC为正三角形.
【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.
例3各项都是正数的数列{an}中，若前n项的和Sn满足2Sn=an+,求此数列的通项公式.
【思路分析】在Sn与an的混合型中，应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，然后用递推关系式先求出Sn，再求an，或直接求an.本题容易得到数列{Sn}的递推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.
【解】n≥2时，将a n=Sn－Sn－1代入2Sn=an+,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
即当n=1时，由2S1=a1+,得a1=1也满足.
故数列{an}的通项公式为.
【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足S n与an混合型中的通项公式.
例4设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn=－ban+1－，其中b是与n无关的常数，且b≠－1.
（1）求an与an－1的关系式；
（2）写出用n与b表示an的表达式.
【思路分析】利用Sn=an－an－1（n≥2）整理出数列{an}的递推关系式求an.
【解】
（1）
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=
－ban+1－,整理得
两边同乘以2n，得2nan=2n－1an－1+,可知数列{2nan}是以2a=为首项，公差为的等差数列.所以
当b≠1，b≠－1时，
由（*）式得（1+b）nan=b（1+b）n－1an－1+
从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n取2，3，…，n得
故数列{an}的通项公式为
【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了辅助数列{cn }、{cn－cn－1}，使数列{cn－c n－1}为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解.
例5n2（n≥4）个正数排成n行n列
a11a12a13a14……a1n
a21a22a23a24……a2n
a31a32a33a34……a3n
a41a42a43a44……a4n
…………………
an1an2an3an4……ann
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,
a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）
【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a1k和q,又每行成等差数列，需要求得an和第一行的公差d，因而本题利用已知建立an、d和q之间关系，使问题获解.
【解】设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,
所以a44=2a43－a42=2×－=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有
解此方程组，得d=,a11=.
对于任意的1≤k≤n,有
【评述】数列求和应先研究通项，通项cn=anbn，其中{an}成等差为九列，{bn}为等比数列，数列{cn}的求和用错项相减去.
例6将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n组有（2n－1）奇数进行分组：
{1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…（第1组）（第2组）（第3组）
问1991位于第几组中？
（1991年全国高中数学联赛试题）
【思路分析】思路需要写出第n组的第1个数和最后一个数，1991介于其中，而第n组中最后一个数是第（1+3+…+2n－1）=n2个奇数为2n2－1.
【解】因为1+3+5+…+（2n－1）=n2
所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1,第n组第一个数即第n－1组最后一个数后面的奇数为[2（n－1）2－1]+2=2（n－1）2+1.由题意，有不等式
2（n－1）2+1≤1991≤2n2－1.
解得（n－1）2≤995且n2≥996，从而n≤32且n≥32，
故n=32，即1991位于第32组中.
【评述】应用待定的方法，假定位于第n组中然后确定n即可.
例7设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和，证明
（1995年全国高考题）
【思路分析】要证原结论成立，只需证SnSn+2<成立，用等比数列前n项和公式表示或建立Sn、Sn+1、Sn+2的关系，用比较法证之.
【证法1】设{an}的公比为q,由题设知a1>0,q>0.
（1）当q=1时，Sn=na1，从而
SnSn+2－=na1（n+2）a1－（n+1）2=－<0.
（2）当q≠1时，
由①、②知
根据对数函数的单调性，得
【证法2】设{an}的公比为q，由题设知a1>0,q>0.
因为Sn+1+=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1,
所以SnSn+2－=Sn（a1+qSn+1）－（a1+qSn）Sn+1=a1（Sn－Sn+1）
=－a1（Sn+1－S n）
=－a1an+1<0.
即（以下同证法1）.
【评述】明确需要证，建立Sn 、Sn+1、Sn+2之间的关系较为简单.
针对性训练题
1．设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0,Sn为其前n项之和，求Sn（n∈N*）中最大的是什么？
（1995年全国高中数学联赛题）
2．一个等比数列{an}的首项a1=2－5，它的前11项的几何平均数为25，若在前11项中抽出一
项后的几何平均数为24，求抽去的是第几项？
3．已知a1,a2,a3,…,an是n个正数，满足a1·a2·…·an=1，
求证（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n.
4．已知数列{an}满足：
a1=，a1+a2+…+an=n2an（n≥1）.试求数列{an}的通项.
5．已知
升级会员 