高中数学竞赛第九讲.doc
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第九讲数列与递进
知识、方法、技能
数列是中学数学中一个重要的课题,也是数学竞赛中经常出现的问题.
所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1,a2,…,an,…通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.
从函数的角度看,数列可以看做是一个函数,定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集,函数表达式就是数列的通项公式.
对于数列{an},把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和,则有
I.等差数列与等比数列
1.等差数列
(1)定义:
(2)通项公式:
an=a1+(n-1)d.
(3)前n项和公式:
(4)等差中项:
(5)任意两项:
an=am+(n-m)d.
(6)性质:
①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数;
②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数;
③设{an}是等差数列,如果m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,那么am+an=ap+aq;
④设Sn是等差数列{an}的前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,Spm-S(p-1)m(m>1,p≥3,m、p∈N*)仍成等差数列;
⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和,则是等差数列;
⑥设{an}是等差数列,则{λan+b}(λ,b是常数)是等差数列;
⑦设{an}与{bn}是等差数列,则{λ1an+λ2bn}(λ1,λ2是常数)也是等差数列;
⑧设{an}与{bn}是等差数列,且bn∈N*,则{abn}也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列);
⑨设{an}是等差数列,则{}(c>0,c≠1)是等比数列.
2.等比数列
(1)定义:
(2)通项公式:
an=a1qn-1.
(3)前n项和公式:
(4)等比中项:
(5)任意两项:
an=amqn-m.
(6)无穷递缩等比数列各项和公式:
S=
(7)性质:
①设{an}是等比数列,如果m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,那么am·an=ap·aq;
②设Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,
Spm-S(p-1)m(m>1,p≥3,m、n∈N*)仍为等比数列;
③设{an}是等比数列,则{λan}(λ是常数)、{}(m∈Z*)仍成等比数列;
④设{an}与{bn}是等比数列,则{an·bn}也是等比数列;
⑤设{an}是等比数列,{bn}是等差数列,bn∈Z*,则{abn}是等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列);
⑥设{an}是正项等比数列,则{logcan}(c>0,c≠1)是等差数列.
赛题精讲
例1设数列{an}的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…),数列{bn}满足b1=3,bk+1=bk+ak(k=1,2,…),求数列{bn}的前n项之和.
(1996年全国数学联赛二试题1)
【思路分析】欲求数列{bn}前n项和,需先求bn.由ak=bk+1-bk,知求ak即可,利用
ak=Sk-Sk-1(k=2,3,4,…)可求出ak.
【略解】由Sn=2an-1和a1=S1=2a1-1,得a1=1,又an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,因此{an}是首项为1,公比为2的等比数列,则有an=2n-1.
由ak=bk+1-bk,取k=1,2,…,n-1得
a1=b2-b1,a2=b3-b2,a3=b4-b3,…,an-1=bn-bn-1,将上面n-1个等式相加,得bn-b1=a1+a2+…+an.即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n-1)=2n-1+2,所以数列{bn}的前n项和为
Sn′=(2+1)+(2+2)+(2+22)+…+(2+2n-1)=2n+2n-1.
【评述】求数列的前n项和,一般情况必须先研究通项,才可确定求和的方法.
例2求证:
若三角形的三内角成等差数列,对应的三边成等比数列,则此三角形必是正三角形.
【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,知∠B=60°,三个角可设为60°-d,60°,60°+d,其中d为常数;又由对应的三边a、b、c成等比数列,知b2=ac,或将三边记为a、aq、aq2,其中q为正常数,由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.
【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c,依题意b2=ac,∠B=60°.
【方法1】由余弦定理,得
整理得(a-c)2=0因此a=c.
故△ABC为正三角形.
【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2,由余弦定理有
cosB=,整理得q4-2q2+1=0,解得q=1,q=-1(舍去)
所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.
【方法3】因为b2=ac,由正弦定理:
(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC(其中R是△ABC外接圆半径)即sin2B=sinA·sinC,把
B=60°代入得sinA·sinC=,整理得[cos(A-C)-cos(A+C)=,即cos(A-C)=1,所以A=C,且∠B=60°,故此△ABC为正三角形.
【方法4】将60°-d,60°,60°+d代入sin2B=sinAsinC,
得sin(60°-d)·sin(60°+d)=,即[cos(2d)-cos120°]=.
得cos2d=1,d=0°,所以∠A=∠B=∠C,故△ABC为正三角形.
【评述】方法1、2着眼于边,方法3、4着眼于角.
例3各项都是正数的数列{an}中,若前n项的和Sn满足2Sn=an+,求此数列的通项公式.
【思路分析】在Sn与an的混合型中,应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式,然后用递推关系式先求出Sn,再求an,或直接求an.本题容易得到数列{Sn}的递推式,利用an=Sn-Sn-1先求出Sn,再求an即可.
【解】n≥2时,将an=Sn-Sn-1代入2Sn=an+,得2Sn=Sn-Sn-1+,整理得
所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,
即当n=1时,由2S1=a1+,得a1=1也满足.
故数列{an}的通项公式为.
【评述】处理本例的思想方法,可用来求满足Sn与an混合型中的通项公式.
例4设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn=-ban+1-,其中b是与n无关的常数,且b≠-1.
(1)求an与an-1的关系式;
(2)写出用n与b表示an的表达式.
【思路分析】利用Sn=an-an-1(n≥2)整理出数列{an}的递推关系式求an.
【解】
(1)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
-ban+1-,整理得
两边同乘以2n,得2nan=2n-1an-1+,可知数列{2nan}是以2a=为首项,公差为的等差数列.所以
当b≠1,b≠-1时,
由(*)式得(1+b)nan=b(1+b)n-1an-1+
从而数列{cn-cn-1}就是一个等比数列,n取2,3,…,n得
故数列{an}的通项公式为
【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法,本例构造了辅助数列{cn}、{cn-cn-1},使数列{cn-cn-1}为等比数列,化未知为已知,从而使问题获解.
例5n2(n≥4)个正数排成n行n列
a11a12a13a14……a1n
a21a22a23a24……a2n
a31a32a33a34……a3n
a41a42a43a44……a4n
…………………
an1an2an3an4……ann
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知a24=1,
a42=,a43=,求a11+a22+a33+…+ann.(1990年全国高中数学联赛试题)
【思路分析】求和需要研究a11和akk,又每列成等比数列且公比相等,只需要研究a1k和q,又每行成等差数列,需要求得an和第一行的公差d,因而本题利用已知建立an、d和q之间关系,使问题获解.
【解】设第一行数列公差为d,各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,
所以a44=2a43-a42=2×-=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有
解此方程组,得d=,a11=.
对于任意的1≤k≤n,有
【评述】数列求和应先研究通项,通项cn=anbn,其中{an}成等差为九列,{bn}为等比数列,数列{cn}的求和用错项相减去.
例6将正奇数集合{1,3,5,…}从小到大按第n组有(2n-1)奇数进行分组:
{1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…(第1组)(第2组)(第3组)
问1991位于第几组中?
(1991年全国高中数学联赛试题)
【思路分析】思路需要写出第n组的第1个数和最后一个数,1991介于其中,而第n组中最后一个数是第(1+3+…+2n-1)=n2个奇数为2n2-1.
【解】因为1+3+5+…+(2n-1)=n2
所以前n组共含有奇数n2个,第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2-1,第n组第一个数即第n-1组最后一个数后面的奇数为[2(n-1)2-1]+2=2(n-1)2+1.由题意,有不等式
2(n-1)2+1≤1991≤2n2-1.
解得(n-1)2≤995且n2≥996,从而n≤32且n≥32,
故n=32,即1991位于第32组中.
【评述】应用待定的方法,假定位于第n组中然后确定n即可.
例7设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是前n项和,证明
(1995年全国高考题)
【思路分析】要证原结论成立,只需证SnSn+2<成立,用等比数列前n项和公式表示或建立Sn、Sn+1、Sn+2的关系,用比较法证之.
【证法1】设{an}的公比为q,由题设知a1>0,q>0.
(1)当q=1时,Sn=na1,从而
SnSn+2-=na1(n+2)a1-(n+1)2=-<0.
(2)当q≠1时,
由①、②知
根据对数函数的单调性,得
【证法2】设{an}的公比为q,由题设知a1>0,q>0.
因为Sn+1+=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1,
所以SnSn+2-=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1)
=-a1(Sn+1-Sn)
=-a1an+1<0.
即(以下同证法1).
【评述】明确需要证,建立Sn、Sn+1、Sn+2之间的关系较为简单.
针对性训练题
1.设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0,Sn为其前n项之和,求Sn(n∈N*)中最大的是什么?
(1995年全国高中数学联赛题)
2.一个等比数列{an}的首项a1=2-5,它的前11项的几何平均数为25,若在前11项中抽出一
项后的几何平均数为24,求抽去的是第几项?
3.已知a1,a2,a3,…,an是n个正数,满足a1·a2·…·an=1,
求证(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.
4.已知数列{an}满足:
a1=,a1+a2+…+an=n2an(n≥1).试求数列{an}的通项.
5.已知