高中数学直线与方程习题及解析.doc

高中数学直线与方程习题及解析.doc

《高中数学直线与方程习题及解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学直线与方程习题及解析.doc（3页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

直线与方程

1．一条光线从点A（－1,3）射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B（3,1），求P点的

坐标．

解　设P（x,0），则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意，

由光的反射定律得kPA＝－kPB，

即＝，解得x＝2，即P（2,0）．

2．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．

解　如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，

∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，

∴kAB＝tan150°＝－，

kAC＝tan30°＝.

3．已知函数f（x）＝log2（x＋1），a>b>c>0，试比较，，的大小．

解　画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．

由图象可知：

>>.

4．

（1）已知四点A（5,3），B（10,6），C（3，－4），D（－6,11），求证：

AB⊥CD.

（2）已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A（3a，－2），B（0，a2＋1）且l1⊥l2，求实数a的值．

（1）证明　由斜率公式得：

kAB＝＝，

kCD＝＝－，

则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD.

（2）解　∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，

即×＝－1，解得a＝1或a＝3.

5.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0,0）、P（1，t）、Q（1－2t,2＋t）、R（－2t,2），其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．

解　由斜率公式得kOP＝＝t，

kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，

kPQ＝＝＝－.

∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.

∴四边形OPQR为平行四边形．

又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，

故四边形OPQR为矩形．

6．已知四边形ABCD的顶点A（m，n），B（5，－1），C（4，2），D（2,2），求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

解　∵四边形ABCD是直角梯形，

∴有2种情形：

（1）AB∥CD，AB⊥AD，

由图可知：

A（2，－1）．

（2）AD∥BC，AD⊥AB，

⇒

∴.

综上或.

7．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程．

解　因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝，d2＝.

又2d1＝d2，∴2|C－9|＝|C＋3|.

解得C＝21或C＝5.

故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0

8．△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：

△ABC为等腰三角形．

证明　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系（如右图所示）．

设A（0，a），B（b,0），C（c,0），D（d,0）．

因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得

b2＋a2＝d2＋a2＋（d－b）（c－d），

即－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）．

又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.

所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．

9．一束平行光线从原点O（0,0）出发，经过直线l：

8x＋6y＝25反射后通过点P（－4,3），求反射光线与直线l的交点坐标．

解　设原点关于l的对称点A的坐标为（a，b），由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得

，解得，

∴A的坐标为（4,3）．

∵反射光线的反向延长线过A（4,3），

又由反射光线过P（－4,3），两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.

由方程组，解得，

∴反射光线与直线l的交点坐标为.

3