配套K12版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时跟踪检测43 理 新人教A版Word格式.docx

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A．①③B．②

C．②④D．①②④

C　

直线与平面垂直的条件是：

平面外的直线和平面内的两条交线垂直，故②④不能保证．

3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

D　

由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.

4．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°

，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（　　）

A．PA＝PB>

PCB．PA＝PB<

PC

C．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC

∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，

∴BM＝AM＝CM.

又PM⊥平面ABC，

∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，

故PA＝PB＝PC.

5．[2017·

宁夏银川一模]设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若m∥α，m∥β，则α∥β；

②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；

③若m∥α，m∥n，则n∥α；

④若m⊥α，α∥β，则m⊥β.

其中的正确命题序号是（　　）

A．③④B．①②

C．②④D．①③

①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；

②若m⊥α，m∥β，则由平面与平面垂直的判定定理，得α⊥β，故②正确；

③若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；

④若m⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理，得m⊥β，故④正确．故选C.

6．[2017·

山东青岛质检]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（　　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β

对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.

7．[2017·

江西九江模拟]如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（　　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故选C.

8．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB.给出下列结论：

①AE⊥BC；

②EF⊥PB；

③AF⊥BC；

④AE⊥平面PBC.其中真命题的序号是________．

①②④　

①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；

②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；

③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE，与已知矛盾，故③错误；

由①可知④正确．

9．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若a∥α且b∥α，则a∥b；

②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；

③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；

④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.

上面命题中，所有真命题的序号是________．

②③④　

①中a与b可能相交或异面，故不正确．

②垂直于同一直线的两平面平行，正确．

③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．

④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．

10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

DM⊥PC（或BM⊥PC）　

连接AC，BD，则AC⊥BD.

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD.

而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

11.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°

，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.

由已知可得A1B1＝

，

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝

h.

又2×

＝h

所以h＝

，DE＝

.

在Rt△DB1E中，B1E＝

＝

由面积相等得

×

x，得x＝

即线段B1F的长为

[冲刺名校能力提升练]

1．[2017·

吉林实验中学模拟]设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

A的逆命题为：

当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知，c⊥β，故A正确；

B的逆命题为：

当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；

C的逆命题为：

当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知，b⊥c，故C正确；

D的逆命题为：

当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理知，c∥α，故D正确．

2．[2017·

河北衡水中学模拟]如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的是（　　）

A．点H是△A1BD的垂心

B．AH垂直于平面CB1D1

C．AH延长线经过点C1

D．直线AH和BB1所成角为45°

对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题A是真命题；

对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；

对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；

对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝

，因此命题D是假命题．

3．[2017·

江西上饶质检]已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，现有以下说法：

①若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；

②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β；

③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；

④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；

⑤若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n.

其中正确说法的序号为________．

②③　

对于①，注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此①不正确；

对于②，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α，β平行；

由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，n⊥β，因此②正确；

对于③，由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知，③正确；

对于④，分别平行于两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此④不正确；

对于⑤，m与n有可能平行，因此⑤不正确．

综上所述，正确的说法有②③.

4．[2017·

甘肃兰州质检]如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.

由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，

所以BE＝AD，折叠后如图所示．

①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.

因为M，N分别是AD，BE的中点，

所以点P为AE的中点，故NP∥EC.

又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，

所以平面MNP∥平面DEC，

故MN∥平面DEC，①正确；

②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，

所以AE⊥MP，AE⊥NP，

又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，

又MN⊂平面MNP，

所以MN⊥AE，②正确；

③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，

从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；

④当EC⊥ED时，EC⊥AD.

因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，

所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，

所以EC⊥AD，④正确．

贵州七校联考]如图，几何体EF－ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°

（1）求证：

AC⊥FB；

（2）求几何体EF－ABCD的体积．

（1）证明：

由题意，得

AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.

∵四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC.

∵DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC.

又∵四边形ABCD为直角梯形，

AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，

∴AC＝2

，BC＝2

则有AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB.

（2）解：

如图，连接EC，过B作CD的垂线，垂足为N，

易知BN⊥平面CDEF，且BN＝2.

∵VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VB－EFC

S梯形ABCD·

DE＋

S△EFC·

BN＝

∴几何体EF－ABCD的体积为

湖北八校联考]如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C.

平面ABC1⊥平面A1ACC1.

（2）设D是A1C1的中点，在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1？

若存在，求三棱锥E－ABC1的体积；

若不存在，请说明理由．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

有A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.

又∵A1A＝AC，∴A1C⊥AC1.

又∵BC1⊥A1C，AC1∩BC1＝C1，

AC1，BC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥平面ABC1.

∵A1C⊂平面A1ACC1，

∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.

存在，E为BB1的中点．

取A1A的中点F，

连接EF，FD.

则EF∥AB，DF∥AC1.

∵EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，

∴平面EFD∥平面ABC1.

∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面ABC1.

VE－ABC1＝VC1－ABE＝

1×

2＝