长沙中考数学专题训练4与函数有关的新定义问题6道文档格式.docx

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∴m＝2；

（3）y＝ax＋2b和y＝－存在“共享”函数为y＝ax2＋2bx＋c，则a、b、c满足，

，即

∴－2<

<

－.

L2＝（－）2＝＝＝＝4＝4（＋＋1）＝4（

）2＋3,

∵－2<

－,∴3<

L2<

12，∴<

L<

2.

2．对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d＝|x|＋|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y＝x2＋1就是一个幸福函数，理由如下：

设P（x，y）为y＝x2＋1上任意一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2＋1|，

∵x≥0，|x2＋1|＝x2＋1≥1,∴d≥1.∴y＝x2＋1是一个幸福函数．

（1）若点P在反比例函数y＝的图象上，且它的幸福指数d＝2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；

（2）一次函数y＝－x＋1是幸福函数吗？

请判断并说明理由；

（3）若二次函数y＝x2－（2m＋1）x＋m2＋m（m>

0）是幸福函数，试求出m的取值范围．

（1）设点P的坐标为（m，），

∴d＝|m|＋||＝2，

解得：

m1＝－1，m2＝1，

经检验，m1＝－1,m2＝1是原分式方程的解，

∴满足条件的P点坐标为（－1，－1）或（1，1）；

（2）一次函数y＝－x＋1是幸福函数，理由如下：

设P（x，y）为y＝－x＋1上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|－x＋1|；

x<

0时，d＝|x|＋|－x＋1|＝－x－x＋1＝1－2x>

1；

当0≤x≤1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x－x＋1＝1；

当x>

1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x＋x－1＝2x－1>

1.

∴对于y＝－x＋1上任意一点P（x，y），它的幸福指数d≥1恒成立，

∴一次函数y＝－x＋1是幸福函数；

（3）设P（x，y）为y＝x2－（2m＋1）x＋m2＋m上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2－（2m＋1）x＋m2＋m|，

∵y＝x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝（x－m）（x－m－1），m＞0，

∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考虑．

①当x≤0时，d＝|x|＋|x2－（2m＋1）x＋m2＋m|＝－x＋x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝（x－m－1）2－m－1，

当x＝0时，d取最小值，最小值为m2＋m，

∴m2＋m≥1，

m≥；

②0＜x＜m时，d＝|x|＋|x2－（2m＋1）x＋m2＋m|＝x＋x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝（x－m）2＋m－1≥1，

∵（x－m）2≥0，

∴m－1≥1，

m≥2；

③当m≤x≤m＋1时，d＝|x|＋|x2－（2m＋1）x＋m2＋m|＝x－x2＋（2m＋1）x－m2－m＝－（x－m－1）2＋m＋1，

当x＝m时，d取最小值，最小值为m，

∴m≥1；

④当x＞m＋1时，d＝|x|＋|x2－（2m＋1）x＋m2＋m|＝x＋x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝（x－m）2＋m－1＞m≥1，

∴m≥1.

若二次函数y＝x2－（2m＋1）x＋m2＋m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2.

3．在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：

y＝kx＋b（k≠0），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．

（1）求直线l：

y＝－x＋2与双曲线y＝的切点坐标；

（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过两点（－1，0）和（3，0），若直线l：

y＝x＋2与抛物线相切，试求实数a的值；

（3）已知直线l：

y1＝kx＋m与抛物线y2＝2x2＋相切于点（，），设二次函数M：

y3＝ax2＋bx＋c（a、b、c为整数且a≠0），对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2.求二次数M的解析式．

（1）联立，得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，∴切点坐标为（1，1）

（2）由题可知，抛物线解析式可表示为：

y＝a（x＋1）（x－3）＝ax2－2ax－3a，

联立，得：

ax2－（2a＋1）x－3a－2＝0

由抛物线和直线相切易知：

a≠0且Δ＝0，

∴Δ＝（2a＋1）2－4a×

（－3a－2）＝16a2＋12a＋1＝0，

a1＝，a2＝，

（3）由题可知：

直线y1＝kx＋m和抛物线M都经过（，），

∴＝＋m，＝＋＋c①，

∴m＝－，

联立得2x2－kx－＋＝0，

∴Δ＝k2－4×

2×

（－）＝0.

k＝2，∴m＝－,

∴直线l1的解析式：

y1＝2x－,

∵对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2，对于一切实数x恒有：

2x－≤ax2＋bx＋c≤2x2＋.

当x＝0时，有－＜c<

，而c为整数，∴c＝0②.

联立，得ax2＋（b－2）x＋c＋＝0.

∴Δ＝（b－2）2－4a×

（c＋）＝0,

∴b2－4b＋4－4ac－a＝0　③,

联立①②③式得：

a＝b＝1，c＝0.

故二次函数M的解析式为：

y3＝x2＋x.

4．已知y是关于x的函数，若其图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“bingo点”，例如：

y＝2x－1上存在“bingo点”P（1，1）．

（1）直线________（填写直线解析式）上的每一个点都是“bingo点”；

双曲线y＝上的“bingo点”是________；

（2）若抛物线y＝x2＋（a＋1）x－a2－a＋2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B（点A和点B可以重合）的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），求x＋x的最小值；

（3）若函数y＝x2＋（n－k＋1）x＋m＋k－1的图象上存在唯一的一个“bingo点”，且当－2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．

（1）y=x;

（1,1）和（－1，－1）；

（2）设二次函数y＝x2＋（a＋1）x－a2－a＋2的“bingo点”为（x，x），

∴x＝x2＋（a＋1）x－a2－a＋2，

∴x2＋ax－a2－a＋2＝0，

∴x1＋x2＝－a，x1·

x2＝－a2－2a＋4，

∴x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－a）2－2×

（－a2－2a＋4）＝（a＋）2－，

又∵“bingo点”A、B（点A和点B可以重合），

∴Δ≥0，即（a）2－4·

·

（－a2－a＋2）≥0，

∴a≤－3－或a≥－3＋，

当a＝－3＋时，x＋x取最小值，

∴（x＋x）min＝－；

（3）∵y＝x2＋（n－k＋1）x＋m＋k－1只有一个“bingo点”，∴y＝x2＋（n－k＋1）x＋m＋k－1与y＝x只有一个交点，

则x2＋（n－k）x＋m＋k－1＝0有两个相同根，

∴Δ＝b2－4ac＝（n－k）2－（m＋k－1）＝0，

可得m＝（n－k）2－k＋1，

当k＜－2时，n＝－2，m取最小值，即（－2－k）2－k＋1＝k，则无解；

当－2≤k＜1时，n＝k，m取最小值，即－k＋1＝k，则k＝；

当k≥1时，n＝1，m取最小值，即（1－k）2－k＋1＝k，则k2－4k＋2＝0；

∴k1＝2－（不合题意，舍去），k2＝2＋，

综上所述，k值为或2＋.

5．已知y是关于x的函数，若其图象经过点P（t，2t），则称点P为函数图象上的“偏离点”．例如：

直线y＝x－3上存在“偏离点”P（－3，－6）．

（1）在双曲线y＝上是否存在“偏离点”？

若存在，请求出“偏离点”的坐标；

若不存在，请说明理由；

（2）若抛物线y＝－x2＋（a＋2）x－a2－a＋1上有“偏离点”，且“偏离点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求w＝x＋x－的最小值（用含k的式子表示）；

（3）若函数y＝x2＋（m－t＋2）x＋n＋t－2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当－2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．

（1）存在．假设存在“偏离点”，根据题意得2x＝，解得x1＝，x2＝－，

当x＝时，y＝；

当x＝时，y＝－，

∴“偏离点”坐标为（，）或（－，－）；

（2）设抛物线上的“偏离点”坐标为（x，2x），代入抛物线得－x2＋（a＋2）x－a2－a＋1＝2x得－x2＋ax－a2－a＋1＝0，

∵Δ＝＋2（－a2－a＋1）≥0，∴a≤1，

又∵x1＋x2＝a，x1·

x2＝a2＋2a－2，

∴x＋x－＝（x1＋x2）2－2x1·

x2－＝a2－（4＋）a＋4，又∵抛物线开口向上，且对称轴为a＝，∴若36＋3k≥16，即k≥－，则当a＝1时，w＝x＋x－最小值为－，

若36＋3k<

16，即k<

－，则当a＝时，x＋x－最小值为－，

综上所述，w的最小值为；

（3）将“偏离点”（x，2x）代入x2＋（m－t＋2）x＋n＋t－2＝2x得：

x2＋（m－t）x＋n＋t－2＝0，

∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点”，

∴Δ＝（m－t）2－4×

（n＋t－2）＝0，

即n＝m2－2mt＋t2－t＋2＝（m－t）2－t＋2，

又∵对称轴为m＝t，

∴①若t≤－2，取m＝－2时，有nmin＝4＋4t＋t2－t＋2＝t，即t2＋2t＋6＝0，∵Δ＝4－4×

1×

6＜0，

方程无解；

②若－2<

3，取m＝t时，有nmin＝t2－2t2＋t2－t＋2＝t，解得：

t＝1，成立；

③若t≥3，取m＝3时，有nmin＝32－6t＋t2－t＋2＝t，

即：

t2－8t＋11＝0，解得t1＝4＋，t2＝4－（舍），

综上所述，t＝4＋或t＝1.

6．若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任意两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1－y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称

第6题图

为该函数的界高．如图所表示的函数的界高为4.

（1）若函数y＝（k＞0）（－2≤x≤－1）的界高为6，则k＝________；

（2）若函数y＝kx＋1（－2≤x≤1）的界高为4，求k的值；

（3）已知函数y＝x2－2ax＋3a（－2≤x≤1）的界高为，求a的值．

（1）12；

【解法提示】当－2≤x≤－1时，函数y＝（k＞0）中y随x的增大而减小，∴y1＞y2，将x1＝－2代入得y1＝＝－，将x2＝－1代入得y2＝＝－k，∵|y1－y2|＝6，∴－－（－k）＝6，解得k＝12；

（2）将x1＝－2代入得y1＝－2k＋1；

将x2＝1代入得y2＝k＋1，

∵|y1－y2|＝4，

∴|－3k|＝4，解得k＝±

；

（3）①当a≥1时，将x1＝－2，x2＝1代入函数解析式得，

y1＝4＋7a，y2＝1＋a，

∵|y1－y2|＝，函数对称轴为x＝a，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，

∴3＋6a＝，解得a＝，

又∵a≥1，故此种情况不成立；

②当－≤a＜1时，将x1＝－2，x2＝a代入函数解析式得，

y1＝4＋7a，y2＝3a－a2，

∵|y1－y2|＝，

∴a2＋4a－＝0，

解得a1＝，a2＝－（舍去），

∴a＝；

③当－2≤a＜－时，同理有x1＝1时y值最大，x2＝a时y值最小，将x1＝1，x2＝a代入函数解析式得，

y1＝1＋a，y2＝3a－a2，

∴a2－2a－＝0，

解得a1＝－，a2＝（舍去），

∴a＝－；

④当a＜－2时，将x1＝－2，x2＝1代入函数解析式得，

∵|y1－y2|＝，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，

∴－（3＋6a）＝，

解得a＝－，

又∵a≤－2，故此种情况不成立，

综上所述，a＝或a＝－.