高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一).doc

高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一).doc

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三角函数的诱导公式

（一）

【知识梳理】

1．诱导公式二

（1）角π＋α与角α的终边关于原点对称．

如图所示．

（2）公式：

sin（π＋α）＝－sin_α.

cos（π＋α）＝－cos_α.

tan（π＋α）＝tan_α.

2．诱导公式三

（1）角－α与角α的终边关于x轴对称．

如图所示．

（2）公式：

sin（－α）＝－sin_α.

cos（－α）＝cos_α.

tan（－α）＝－tan_α.

3．诱导公式四

（1）角π－α与角α的终边关于y轴对称．

如图所示．

（2）公式：

sin（π－α）＝sin_α.

cos（π－α）＝－cos_α.

tan（π－α）＝－tan_α.

【常考题型】

题型一、给角求值问题

【例1】　求下列三角函数值：

（1）sin（－1200°）；

（2）tan945°；（3）cos.

[解]　

（1）sin（－1200°）＝－sin1200°＝－sin（3×360°＋120°）＝－sin120°＝－sin（180°－60°）＝－sin60°＝－；

（2）tan945°＝tan（2×360°＋225°）＝tan225°＝tan（180°＋45°）＝tan45°＝1；

（3）cos＝cos＝cos＝cos＝.

【类题通法】

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

【对点训练】

求sin585°cos1290°＋cos（－30°）sin210°＋tan135°的值．

解：

sin585°cos1290°＋cos（－30°）sin210°＋tan135°＝sin（360°＋225°）cos（3×360°＋210）＋cos30°sin210°＋tan（180°－45°）＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin（180°＋45°）cos（180°＋30°）＋cos30°·sin（180°＋30°）－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°sin30°－tan45°＝×－×－1＝.

题型二、化简求值问题

【例2】　

（1）化简：

＝________；

（2）化简.

（1）[解析]　＝＝＝＝1.

[答案]　1

（2）[解]　原式＝＝＝＝－1.

【类题通法】

利用诱导公式一～四化简应注意的问题

（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；

（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；

（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．

【对点训练】

化简：

.

解：

原式＝＝＝tanθ.

题型三、给角（或式）求值问题

【例3】　

（1）已知sinβ＝，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　　 B．－1

C. D．－

（2）已知cos（α－55°）＝－，且α为第四象限角，求sin（α＋125°）的值．

（1）[解析]　∵cos（α＋β）＝－1，

∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，

∴sin（α＋2β）＝sin[（α＋β）＋β]＝sin（π＋β）＝－sinβ＝－.

[答案]　D

（2）[解]　∵cos（α－55°）＝－<0，且α是第四象限角．

∴α－55°是第三象限角．

sin（α－55°）＝－＝－.

∵α＋125°＝180°＋（α－55°），

∴sin（α＋125°）＝sin[180°＋（α－55°）]＝－sin（α－55°）＝.

【类题通法】

解决条件求值问题的策略

（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

【对点训练】

已知sin（π＋α）＝－，求cos（5π＋α）的值．

解：

由诱导公式得，sin（π＋α）＝－sinα，

所以sinα＝，所以α是第一象限或第二象限角．

当α是第一象限角时，cosα＝＝，

此时，cos（5π＋α）＝cos（π＋α）＝－cosα＝－.

当α是第二象限角时，cosα＝－＝－，

此时，cos（5π＋α）＝cos（π＋α）＝－cosα＝.

【练习反馈】

1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos（π－θ）的值为（　　）

A．－　　　　　　　 B．－

C. D.

解析：

选C　∵r＝1，∴cosθ＝－，

∴cos（π－θ）＝－cosθ＝.

2．已知sin（π＋α）＝，且α是第四象限角，则cos（α－2π）的值是（　　）

A．－ B.

C．± D.

解析：

选B　sinα＝－，又α是第四象限角，

∴cos（α－2π）＝cosα＝＝.

3．设tan（5π＋α）＝m，则＝________.

解析：

∵tan（5π＋α）＝tanα＝m，

∴原式＝＝＝＝.

答案：

4.的值是________．

解析：

原式＝

＝＝

＝＝＝－2.

答案：

－2

5．已知cos＝，求cos的值．

解：

cos＝－cos＝

－cos＝－.