高中数学平面向量习题及答案.doc

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第二章平面向量

一、选择题

（第1题）

1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（）．

A．与共线 B．与共线

C．与相等 D．与相等

2．下列命题正确的是（）．

A．向量与是两平行向量

B．若a，b都是单位向量，则a＝b

C．若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形

D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足＝a＋b，其中a，b∈R，且a＋b＝1，则点C的轨迹方程为（）．

A．3x＋2y－11＝0 B．（x－1）2＋（y－1）2＝5

C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0

4．已知a、b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（）．

A． B． C． D．

5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），则＝（）．

A．λ（＋），λ∈（0，1） B．λ（＋），λ∈（0，）

C．λ（－），λ∈（0，1） D．λ（－），λ∈（0，）

6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则＝（）．

A．＋ B．－

C．＋ D．＋

7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则向量a的模为（）．

A．2 B．4 C．6 D．12

8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的（）．

A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点 D．三条高的交点

9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）．

A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形

（第10题）

10．如图，梯形ABCD中，||＝||，∥∥则相等向量是（）．

A．与 B．与

C．与 D．与

二、填空题

11．已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（－k，10），且A，B，C三点共线，则k＝．

12．已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与相等，其中M（－1，3），N（1，3），则x＝．

13．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于．

14．给定两个向量a＝（3，4），b＝（2，－1），且（a＋mb）⊥（a－b），则实数m等于．

15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的．

16．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c,＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．

三、解答题

17．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若点P满足＝＋λ（λ∈R），试求λ为何值时，点P在第三象限内？

（第18题）

18．如图，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求．

19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：

AF⊥DE（利用向量证明）．

（第19题）

20．已知向量a＝（cosθ，sinθ），向量b＝（，－1），则|2a－b|的最大值．

参考答案

一、选择题

（第1题）

1．B

解析：

如图，与，与不平行，与共线反向．

2．A

解析：

两个单位向量可能方向不同，故B不对．若＝，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对．

3．D

解析：

提示：

设＝（x，y），＝（3，1），＝（－1，3），a＝（3a，a），b＝（－b，3b），又a＋b＝（3a－b，a＋3b），

∴（x，y）＝（3a－b，a＋3b），∴，又a＋b＝1，由此得到答案为D．

4．B

解析：

∵（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，

∴（a－2b）·a＝a2－2a·b＝0，（b－2a）·b＝b2－2a·b＝0，

∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝．

∴a与b的夹角是．

5．A

解析：

由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈（0，1）．

6．D

解析：

如图，∵＝，

∴＝＋＝＋．

（第6题）

7．C

解析：

由（a＋2b）·（a－3b）＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．

而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，

∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．

8．D

解析：

由·＝·＝·，得·＝·,

即·（－）＝0，

故·＝0，⊥，同理可证⊥，

∴O是△ABC的三条高的交点．

9．C

解析：

∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠||．

∴四边形ABCD为梯形．

10．D

解析：

与，与，与方向都不相同，不是相等向量．

二、填空题

11．－．

解析：

A，B，C三点共线等价于，共线，

＝－＝（4，5）－（k，12）＝（4－k，－7），

＝－＝（－k，10）－（4，5）＝（－k－4，5），

又A，B，C三点共线，

∴5（4－k）＝－7（－k－4），∴k＝－．

12．－1．

解析：

∵M（－1，3），N（1，3），

∴＝（2，0），又a＝，

∴解得

∴x＝－1．

13．－25．

解析：

思路1：

∵＝3，＝4，＝5，

∴△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，

∴·＋·＋·

＝·＋·

＝·（＋）

＝－（）2

＝－

＝－25．

思路2：

∵＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，

∴cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．

D

（第13题）

根据数积定义，结合图（右图）知·＝0，

·＝·cos∠ACE＝4×5×（－）＝－16，

·＝·cos∠BAD＝3×5×（－）＝－9．

∴·＋·＋·＝0―16―9＝－25．

14．．

解析：

a＋mb＝（3＋2m，4－m），a－b＝（1，5）．

∵（a＋mb）⊥（a－b），

∴（a＋mb）·（a－b）＝（3＋2m）×1＋（4－m）×5＝0m＝．

（第15题）

15．答案：

重心．

解析：

如图，以，为邻边作□AOCF交AC于点E，则＝＋，又＋＝－，

∴＝2＝－．O是△ABC的重心．

16．答案：

平行四边形．

解析：

∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴＝．

∴四边形ABCD为平行四边形．

三、解答题

17．λ＜－1．

解析：

设点P的坐标为（x，y），则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3）．

＋λ＝（5，4）－（2，3）＋λ［（7，10）－（2，3）］

＝（3，１）＋λ（5，7）

＝（3＋5λ，１＋7λ）．

∵＝＋λ，

∴（x－2，y－3）＝（3＋5λ，1＋7λ）．

∴即

（第18题）

要使点P在第三象限内，只需　　解得λ＜－1．

18．＝（，2）．

解析：

∵A（7，8），B（3，5），C（4，3），

＝（－4，－3），＝（－3，－5）．

又D是BC的中点，

∴＝（＋）＝（－4－3，－3－5）

＝（－7，－8）＝（－，－4）．

又M，N分别是AB，AC的中点，

∴F是AD的中点，

∴＝－＝－＝－（－，－4）＝（，2）．

19．证明：

设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a．

（第19题）

∴·＝（a＋b）·（b－a）＝b2－a2＋a·b．

又⊥，且＝，∴a2＝b2，a·b＝0．

∴·＝0，∴⊥．

本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．

20．分析：

思路1：

2a－b＝（2cosθ－，2sinθ＋1），

∴|2a－b|2＝（2cosθ－）2＋（2sinθ＋1）2＝8＋4sinθ－4cosθ．

又4sinθ－4cosθ＝8（sinθcos－cosθsin）＝8sin（θ－），最大值为8，

∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4．

思路2：

将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．

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