高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解.doc

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对数与对数函数

1.对数

（1）对数的定义：

如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.

（2）指数式与对数式的关系：

ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

（3）对数运算性质:

①loga（MN）=logaM+logaN.

②loga=logaM－logaN.

③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④对数换底公式：

logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.

2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：

真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1

对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？

在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。

但是，根据对数定义:

logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：

logaM^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log（-2）4^（-2）就不等于（-2）*log（-2）4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）

（2）对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

（3）对数函数的性质:

①定义域：

（0，+∞）.

②值域：

R.

③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

基础例题

题型1（对数的计算）

1．求下列各式的值．

（1）＋2－－；

（2）log2×log3×log5.

练习题

1．计算：

lg－lg＋lg12.5－log89·log278；

2.log535＋2－log5－log514；3.log2×log3×log5.

4.．5.

7.

例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.

（1）求证：

＋＝；

（2）试比较3x、4y、6z的大小．

练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.

题型二：

（对数函数定义域值域问题）

例1．已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．

2．设函数定义域为．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

练习题1．已知函数

（1）若的定义域是,求实数的取值范围及的值域；

（2）若的值域是，求实数的取值范围及的定义域

2求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.

题型三（奇偶性及其单调性）

例题1．已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0,1]时，f（x）＝2x－1.

（1）求f（x）在[－1,0）上的解析式；

（2）求f（24）的值．

2.已知f（x）=log［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.

3.已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.

4．已知函数.

（Ⅰ）求函数的定义域；

（Ⅱ）判断函数的奇偶性；

（Ⅲ）若，求的取值范围.

练习题1．已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x）（a＞0，a≠1）

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；

（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围

2．函数是定义在上的偶函数，，当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式；

3．已知是定义在上的偶函数，且时，．

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求函数的表达式；

（Ⅲ）若，求的取值范围．

题型4（函数图像问题）

例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是

2.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.

3．设f（x）＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.

（1）求方程f（x）＝1的解；

（2）若a，b满足f（a）＝f（b）＝2f，

求证：

a·b＝1，＞1.

练习题：

1．已知且，函数，，记

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

2．已知函数f（x）＝log4（4x＋1）＋kx（k∈R）是偶函数．

（1）求k的值；

（2）设g（x）＝log4，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

3.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于

题型五：

函数方程

1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.

2.已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为

4．已知函数为常数）.

（Ⅰ）求函数的定义域；

（Ⅱ）若，,求函数的值域；

（Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.

5．已知函数

（Ⅰ）令，求关于的函数关系式及的取值范围；

（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的的值.

6.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和

g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.

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