高中数学奥数培训资料之托勒密定理试题.doc
《高中数学奥数培训资料之托勒密定理试题.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学奥数培训资料之托勒密定理试题.doc(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2014年东安一中高一直升班奥赛培训陈雄武
《托勒密定理及其应用》
托勒密定理:
圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
即:
E
D
C
B
A
一、直接应用托勒密定理
例1如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合),求证:
PA=PB+PC.
二、完善图形借助托勒密定理
例2证明“勾股定理”:
在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:
AC2=AB2+BC2
例3如图,在△ABC中,∠A的平分线交外接∠圆于D,连结BD,求证:
AD·BC=BD(AB+AC).
三、构造图形借助托勒密定理
例4若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.求证:
ax+by≤1.
四、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理
例5已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:
∠A=2∠B.
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
练习:
1.已知△ABC中,∠B=2∠C。
求证:
AC2=AB2+AB·BC。
2.已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证:
。
(第21届全苏数学竞赛)
4