数学新学案同步人教A版必修一讲义第一章集合与函数概念13 132 第1课时 Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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类型一 证明函数的奇偶性
例1
(1)证明f(x)=
既非奇函数又非偶函数;
(2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数;
(3)证明f(x)=
+
既是奇函数又是偶函数.
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
证明
(1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},所以对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,所以f(x)=
既非奇函数又非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因为函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又因为f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数.
(3)定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x)=-f(x)=0,故函数f(x)=
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.
跟踪训练1
(1)证明f(x)=(x-2)
(2)证明f(x)=x|x|是奇函数.
证明
(1)由
≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因为f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数为奇函数.
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>
0.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解
(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图.
(2)xf(x)>
0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)>
0的解集是(-2,0)∪(0,2).
引申探究
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.
解
(1)f(x)的图象如图所示:
0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).
反思与感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<
0的x的取值集合.
解
(1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D.
分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′,
再用光滑曲线连接即得.
(2)由
(1)图可知,当且仅当x∈(-2,0)∪(2,5)时,f(x)<
∴使f(x)<
0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例3 若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 由二次函数为偶函数求参数值
答案
0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=
,f(x)=
x2+bx+b+1.
又f(x)为偶函数,
所以f(-x)=
(-x)2+b(-x)+b+1=f(x)=
x2+bx+b+1对定义域内任意x恒成立,
即2bx=0对任意x∈
恒成立,
所以b=0.综上,a=
,b=0.
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用:
①定义域关于原点对称;
②对定义域内任意x,恒有f(-x)=f(x)(或-f(x))成立,常用这一特点得一个恒成立的等式,或对其中的x进行赋值.
跟踪训练3 已知函数f(x)=
为奇函数,则a+b=________.
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 0
解析 由题意知
则
解得
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,故a+b=0.
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 B
2.函数f(x)=x(-1<
x≤1)的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案 C
3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f
(2)=1,则f(-2)=________.
题点 利用奇偶性求函数值
答案 5
解析 函数y=f(x)+x是偶函数,
∴x=±
2时函数值相等.
∴f(-2)-2=f
(2)+2,∴f(-2)=5.
4.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是________.
答案 2
解析 ∵f(x)为偶函数,
∴对于任意x∈R,有f(-x)=f(x),
即(m-1)(-x)2+(m-2)(-x)+(m2-7m+12)
=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),
∴2(m-2)x=0对任意实数x均成立,∴m=2.
5.判断函数f(x)=x+
(a为常数)的奇偶性,并证明你的结论.
解 f(x)为奇函数,证明如下:
f(x)的定义域为{x|x≠0}.
对于任意x≠0,f(-x)=-x+
=-
=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
1.两个定义:
对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;
如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.
2.两个性质:
函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称;
函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了.
一、选择题
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于( )
A.-1B.1C.0D.2
题点 由奇偶函数定义域的对称性求参数值
答案 A
解析 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},
根据奇函数的定义域关于原点对称,
所以a与b有一个等于1,一个等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1,
故选A.
2.(2017·
葫芦岛检测)下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是( )
解析 A,D不是函数;
C不关于原点对称.
3.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( )
A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=-2f(x)
C.f(-x)·
f(x)≤0D.
=-1
答案 D
解析 由于f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),①
由此可推A,B,C正确,
由于f(-x)可能为0,由①不能推出D.
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f
(1)等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
解析 ∵f(x)是奇函数,
当x≤0时,f(x)=2x2-x,
∴f
(1)=-f(-1)=-[2×
(-1)2-(-1)]=-3.
5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
题点 判断抽象函数的奇偶性
解析 由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),
由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x),
故|g(x)|为偶函数,
∴f(x)+|g(x)|为偶函数.
6.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析 A中,令h(x)=f(x)·
g(x),则h(-x)=f(-x)·
g(-x)=-f(x)·
g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,A错;
B中,令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,B错;
C中,令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·
|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴h(x)是奇函数,C正确;
D中,令h(x)=|f(x)·
g(x)|,则h(-x)=|f(-x)·
g(-x)|=|-f(x)·
g(x)|=|f(x)·
g(x)|=h(x).
∴h(x)是偶函数,D错.
7.函数f(x)=|x+1|-|x-1|为( )
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析 f(x)的定义域为R,
对于任意x∈R,f(-x)=|-x+1|-|-x-1|
=|x-1|-|x+1|=-f(x),
又f(-1)=-2,f
(1)=2,f(-1)≠f
(1),
∴f(x)不是偶函数.
8.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(3)=0,则不等式
>
0的解集为( )
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
解析 ∵f(x)为奇函数,f(3)=0,
∴f(-3)=0.
又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数.
由
=f(x)>
0,
①当x>
0时,得f(x)>
f(3)=0,∴x>
3;
②当x<
f(-3)=0,∴-3<
x<
综上可得,原不等式的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
二、填空题
9.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是________.
题点 轴对称问题
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.
10.若函数f(x)=
为偶函数且非奇函数,则实数a的取值范围为________.
答案 a>
1
解析 ∵函数f(x)=
为偶函数且非奇函数,
∴f(-x)=f(x)且f(-x)≠-f(x).
又∵
∴a≥1.
当a=1时,函数f(x)=
为偶函数且为奇函数,
故a>
1.
11.函数f(x)=
为________函数.(填“奇”或“偶”)
题点 判断分段函数的奇偶性
答案 奇
解析 定义域关于原点对称,且
f(-x)=
=
=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
三、解答题
12.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x5;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(3)f(x)=
.
解
(1)函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.
13.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,求实数a的值.
解 ∵函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,
∴|-x+a|=|x+a|,即|x-a|=|x+a|,
∴a=0.
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)=
,若f(a)=
,则f(-a)=________.
解析 根据题意,f(x)=
=1+
,而h(x)=
是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-
15.已知函数f(x)=
是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解
(1)因为f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f
(1),即1-m=-(-1+2),
解得m=2.
经检验当m=2时函数f(x)是奇函数.
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象(图略)知
所以1<a≤3,
故实数a的取值范围是(1,3].