初中数学几个常用模型资料Word文档下载推荐.docx

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⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：

将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，

点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。

将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋

转角α（0°

α<

90°

），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相

交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。

（1）当α＝30°

时（如图②），求证：

AG=DH；

（2）当α＝60°

时（如图③），

（1）中的结论是否成立？

请写出你的结论，并说明理由；

（3）当0°

α<

时，

（1）中的结论是否成立？

请写出你的结论，并根据图④说明理由。

⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成,利用这副三角板构成

一个含有150角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注

不写作法.

连接AD,则∠ADB的余切值为

过D1作D1D2BC于D2，过D2作D2D3AB于D3，这样继续作下去，⋯⋯，线段

⑨已知∠AOB=90°

，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：

（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边

①在图甲中，证明：

PC=PD；

②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=2PD，求△POD与△PDG的面积之比.

（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直

角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在

图丙中作出图形，试求OP的长.

⑩如图，客轮沿折线A－B－C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某

一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。

两船同时起航，并同时到达折线A－B－C的某

点E处，已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°

，客轮速度是货轮速度的2倍。

（1）选择：

两船相遇之处E点（）。

A、在线段AB上B、在线段BC上C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?

（结果保留根号）。

⒒将一把三角尺放在边长为

1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，

直角的另一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。

设A、P两点间的距离为x，

（1）当点Q在CD上时，线段PQ、PB之间有怎样的大小关系？

试证明你观察到的结论。

（2）当点Q在CD上时，求四边形PBCQ的面积y与x的函数解析式，并求出X的取值范围；

3）当点P在线段AC上滑动时，三角形PCQ是否能为等腰三角形？

如果可能，指出所有可

能使三角形PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应

的X的值；

如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小相

同，以供操与解题时备用）

解：

（1）PQ=PB

证明：

连接BD交AC于点O，连接PD，如图

（1）

四边形ABCD是正方形

AC垂直平分BD，ODCOCD450

PB=PD，4900

PBPD

34900

PDQ2ODC2450

PQD3OCD3450

PDQPQD

PDPQ

PBPQ

（1）

..4分

2）连接BD交AC于点O，作QEAC于点E（如图2）

PBPQ,PBOQPE,POBQEP900

POBQEP

QEOPOAAPx

SPBCQSPBCSPCQ2PC（BOQE）

（2x）（2x）

y1x21（1x2）

（3）可能

当P与A重合时，Q与D重合，有PQ=Q，CX=0

当PC=CQ时，且Q在DC的延长线上时，（图形3），连接BD交AC于点O，连接BQ，则

CQ=PC=2x,BQ2BC2CQ21（2x）2由

（1）证得，PB=PQ，

PB2（2BQ）211（2x）222

PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE∴BE=PF

BCPMCQPF

察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？

并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），

你在

（1）中得到的结论还成立吗？

简要说明理由

（1）BE=CF.⋯⋯2分

在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°

，∴∠BAE=∠CAF.

∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°

，∴△ABE≌△ACF（ASA）.⋯⋯4分∴BE=CF.⋯⋯6分

（2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF全等，BE

和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

27．（8分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°

，P为BC的中点，小慧拿着含30°

角的透明三角板，使30°

角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．问△BPE与△CFP是否相似；

（3）操作：

将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC

于点E、F．

1探究１：

△BPE与△CFP还相似吗？

（只需写出结论）

2探究２：

连结EF，△BPE与△PFE是否相似？

请说明理由；

设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

1）如图，由题意得∠FPC+∠BPE=150,∠BEP+∠BPE=150

∴∠BEP=∠FPC又∵∠B=∠C=30∴△BPE～△CFP⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

2）①△BPE与△CFP还相似⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

②△BPE与△PFE相似，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

BEPEBEPE

由△BPE与△CFP相似，得，又∵BP=CP∴,

CPFPBPFP,

BEBP

即，又∵∠B=∠EPF=30∴△BPE～△PFE⋯⋯⋯⋯⋯6分

PEFP

在上图中隐含有以下重要性质：

⑴两对相等的锐角；

∠A=∠BCD,∠B=∠ACD

⑵三对相似三角形:

⊿ACD∽⊿CBD∽⊿ABC,AC2=AD·

ABBC2=BD·

ABCD2=BD·

⑶边之比的推广

⑷面积:

AC·

BC=AB·

⑸勾股定理

⑹AB是ΔABC外接圆的直径

①

②③④⑤

∽

模型5增长率

①②③④⑤⑧增长率与百分数问题

ii某商品降价20%后出售，一段时间后恢复原价，则应在售价的基础上提高的百分数是

（）A、20%B、25%C、30%D、35%

某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为（）

iii

模型8三个非负量

初中阶段学过三个非负量：

平方数

，算术平方根。

它们具有

以下性质：

①非负性；

②n个非负量之和仍为非负量；

③若n个非负量之和为0，则每个非

负量必须同时为0；

④当a=0时，、、都有最小值，相反都

有最大值。

③

④

⑤

模型9全等三角形模型

①i（2006年安徽T13，3分）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线

②（2004年临沂T21，7分）如图△ABC中，∠B=2∠A,AB=2BC。

求证：

∠

模型10方程模型

①（2004年河北T20，4分．）、扑克牌游戏

小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：

第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；

第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；

第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；

第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入

左边一堆。

这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中

间一堆的张数是。

②（200年山东枣庄T，分．）如图所示，若将正方形分成

k个全等的矩形，

其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则

k的值为

③i（2006年山东枣庄T18，4分．）．右图是由9个等边三角形拼成的六

边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长

是.

ii（200年T，分．）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个

正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的

面积为.

友情提醒：

北师大版年级册P阅读材料

右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思

想来研究，发现这三个数的和不可能是（）

（A）69（B）54（C）27（D）40

模型11不等式模型

②汽车刹车后行驶的距离S（单位：

m）与行驶的时间（t单位：

s）的函数关系式是S=15t-6t2,

P从点A向点B运动，OP不变，当点P从点B向点O运动，OP逐渐减小，故能大致

地刻画s与t之间关系的是C．

4、如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆弦AD交

小圆于点E和F．为了计算截面（图中阴影部分）的面积，甲、乙、丙三位同学分别用刻

度尺测量出有关线段的长度．甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙

测得AD的长和EF的长．其中可以算出截面面积的同学是（）

A．甲、乙B．丙

C．甲、乙、丙D．无人能算出

（2004年浙江温州T24，12分）水是生命之源,水资源的不足严重制约

我市的工业发展,解决缺水的根本在于节约用水,提高工业用水的重复

利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。

据《台州日报》4月26日报导,目前,

我市工业用水每天只能供应10万吨,重复利用率为45℅,先进地区为75℅,工业每万元产值

平均用水25吨,而先进地区为10吨,可见我市节水空间还很大。

（1）若我市工业用水重复利用率（为方便,假设工业用水只重复利用一次）由目前的45

℅增加到60℅,那么每天还可以增加多少吨工业用水？

（2）写出工业用水重复利用率由45℅增加到x℅（45<

100）,每天所增加的工业

用水y（万吨）与之间的函数关系式。

（3）如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平

那么与现有水平比较,仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？

（2006年重庆T26，）.机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设

备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实

际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了

人员为减少实际耗油量进行攻关.

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的

重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量

是多少千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，

并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将

增加1.6%.这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克.问乙

车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?

用油的重复利用率

是多少？

⑨握手问题

⑩梯子问题

比值

（2005年天津

T9，3分）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则AA1B1的值为

（A）

B）2

（C）3

D）3

（2005年重庆

T12，

T24，

（2005年吉林

T23，

如图，G是正六边形ABCDEF

CD的中点，连结AG交CE于点M，则GM：

MA=

2006年武汉市T25．11分）

如图△ABC中，AB=AC,EF//BC,且⊙O内切于四边形

BCFE。

1）当AE

2）当

时，

时,sinB=

sinB等于多少？

请说明理由。

出一个角的平分线；

⑶可以确定一个圆的圆心

几个有用的结论和图形

作图题

2005年湖北荆门

A、0个

T4，.）用一把带有刻度的直角尺，⑴可以画出两条平行线；

⑵可以画

B、1个

C、2个

.以上三个判断中正确的个数是（

D、3个

（2005年天津T5，3分）如图，在◇ABCD中，EF//AB，

GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的

个数共有

（A）7个（B）8个（C）9个（D）11个

（2006年T5，3分）

（2006年伊春T20，）．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点

P在BD上，图中面积相等的四边形有（）

（A）3对（B）4对（C）5对（D）6对

（2005年重庆T32，分）

如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直

角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N．如果AB=4，AD=6，OM=x,ON=y则

（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角

形？

若存在，请说出旋转过程；

若不存在，请说明理由．

23．为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库

的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否

安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE。

（精确到0.1m）

26．（本题6分）

（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连

结AE。

AE//BC；

（2）如图二，将

（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。

所作△EDC改

成相似于△ABC。

请问：

是否仍有AE//BC？

证明你的结论。

28．（本题8分）

如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，

0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将△COD沿OD翻

折，得到△FOD；

再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，

并使直线DG、DF重合。

（1）如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；

（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；

（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线yx26的公共点的个数，在图二的情形

中通过计算验证你的猜想；

如果直线DE与抛物线yx26始终有公共点，请

在图一中作出这样的公共点。

111

６．已知实数ｘ满足x2x0，那么x的值是（）

xxx

Ａ．１或－２Ｂ．－１或２Ｃ．１Ｄ．－２

26.（本题满分10分）

在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的

△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，

按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，

⑴在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可

以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；

⑵在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可

以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；

⑶在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可

以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置

⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操

作过程（剪切线的作法）是：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示

5的位置.

图示4图示5

27.（本题满分10分）

某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们

有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学

校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座

位；

如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.

⑴求中巴车和大客车各有多少个座位？

⑵客运公司为学校这次活动提供的报价是：

租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每

辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多

租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少

辆？

租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？

浙江省舟山市2006年20．4分小刚中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：

①洗锅

盛水2分钟；

②洗菜3分钟；

③准备面条及佐料2分钟；

④用锅把水烧开7分钟；

⑤用

烧开的水煮面条和菜要3分钟，以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，小刚要

将面条煮好，最少用12___分钟．

（2006年浙江省金华T16.5分）如图，点M是直线y＝2x＋3上的动

点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP

为等腰直角三角形.小明发现：

当动点M运动到（－1，1）时，y轴上

存在点P（0，1）,此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形.那么，

在y轴和直线上是否还存在符合条件的点P和点M呢？

请你写出其它

符合条件的点P的坐标

（2006年浙江省金华T23.12分）

初三

（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：

用一定长度的铝合金

材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.

小组讨论后,同学们做了以下三种试验

请根据以上图案回答下列问题:

（1）在图案

（1）中,如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为6m,当AB为1m,

长方形框架ABCD的面积是m2;

（2）在图案

（2）中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB为xm,长方形框架ABCD的面积为Ｓ＝

1（用含x的代数式表示）

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