高三数学附加题专项练习6抛物线.doc

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2015届高三数学附加题专项练习（6）

抛物线

1．已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦．

⑴求p的值；

⑵抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

2．

（1）已知动点到点与到直线的距离相等，求点的轨迹的方程；

（2）若正方形的三个顶点，，（）在

（1）中的曲线上，设的斜率为，，求关于的函数解析式；

（3）求

（2）中正方形面积的最小值。

3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，．

（1）当变化时，求点的轨迹的方程；

（2）若过点的直线交曲线于A,B两点,求证：

直线TA,TF,TB的斜率依次成等差数列．

F

B

x

y

O

A

C

D

M

N

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与交于点，直线与直线交于点．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求证：

轴；

（3）若直线与轴的交点恰为F（1，0），

求证：

直线过定点．

5.已知动圆过点且与直线相切.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：

轴.

O

F

x

y

·

·

P

6.如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点

（１）求的值；

（２）若，求面积的最大值。

参考答案

1．解：

⑴由解得

∴，∴………………………………………4

⑵由⑴得

假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线

令圆的圆心为，则由得

得…………………………………………6

∵抛物线L在点C处的切线斜率

又该切线与垂直，∴

∴……………………8

∵，∴

故存在点C且坐标为（-2,1）…………………………………………10

2.

2分

类似地，可设直线的方程为：

，

从而得，…………………4分

由，得，解得，

．………………6分

（3）因为，…………8分

所以，即的最小值为，当且仅当时取得最小值．…10分

3．解：

（1）设点的坐标为，

由，得点是线段的中点，则，，

又，

由，得，―――――――――――①

由，得∴t=y――――②　

由①②消去，得即为所求点的轨迹的方程

（2）证明：

设直线的斜率依次为，并记，，则,设直线方程为

，得，∴

∴，∴

∴成等差数列

4.解：

（1）设抛物线的标准方程为，

由题意，得，即．

所以抛物线的标准方程为．………………………………3分

（2）设，，且，．

由（），得，所以．

所以切线的方程为，即．

整理，得，①

且C点坐标为．

同理得切线的方程为，②

且D点坐标为．

由①②消去，得．…………………………………5分

又直线的方程为，③

直线的方程为．④

由③④消去，得．

所以，即轴．………………………………………7分

（3）由题意，设，代入

（1）中的①②，得，．

所以都满足方程．

所以直线的方程为．

故直线过定点．…………………………………………10分

5.

（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分

证明：

设，∵，∴，∴的斜率分别

O

F

x

y

·

·

P

为，故的方程为，的方程为…7分

即，两式相减，得，又，

∴的横坐标相等，于是………………10分

6．⑴因为，在抛物线上，

所以，，

同理，依题有，

因为，所以．……………………………4分

⑵由⑴知，设的方程为，

到的距离为，，

所以=

，…………………………………………………8分

令，由，，可知．，

因为为偶函数，只考虑的情况，

记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6．……………………10分

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