华师大 八年级数学上 教案Word格式.docx
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0有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根．
2.一个非负数a的平方根的表示法．
3.开平方．
求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方．
例2将下列各数开平方：
（1）49，
（2）1.69．
分析开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
例3下列各数有平方根吗？
如果有，求出它的平方根；
如果没有，请说明理由．
（1）－64；
（2）0；
（3）（－4）2．
分析因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
四、交流反思
1.一般地，如果
＝a，那么叫
做a的平方根．（也叫a的二次方根）．当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身；
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；
而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；
在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．
3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．
4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．
五、作业
P41
12.1平方根与立方根
（2）
1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；
2.对于
表示的算术平方根中的a的条件和
的本身的意义作合理性的说明，例如：
面积为a（a＞0）的正方形的边长为
，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；
3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中．
教学重点与难点
1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；
2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；
3.用计算器求一个非负数的算术平方根．
1.在（-5）2、-52、52中，哪个有平方根？
平方根是多少？
哪个没有平方根？
2.0.49的平方根记作____＝____；
3.
＝；
4.说出平方根的概念和性质．
1.算术平方根：
9的平方根是，9的正的平方根是，
表示的意义是什么？
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．记作
，读作“a的算术平方根”．
这里应强调两点：
（1）这里的
不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．
（2）这里
中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即
．从以上可知，当a是正数或是0时，
表示a的算术平方根．
例1求100的算术平方根．
解因为102=100，
所以100的算术平方根是10．即
注意100的平方根是±
10，而100的算术平方根是10．
例2求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）36；
（2）2.89；
（3）
说明求一个数的平方根时，根号前的“±
”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
例3求下列各式的值：
分析
（1）、
（2）、（3）题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第（4）、（5）题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．
2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
例4用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529；
（2）1225；
（3）44.81．
1.下列各式中哪些有意义？
哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
4.用计算器计算：
（1）
；
（2）
（3）
（精确到0.01）．
1.平方根和算术平方根的区别：
2.平方根和算术平方根的联系：
P43P74
12.1平方根与立方根（3）
1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；
2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；
3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式
，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．
1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；
2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
3.会用计算器求数的立方根．
计算下列各题：
强调指出上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a3＝x．其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；
x叫做a的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．
问题现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
分析上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．
解设正方体纸盒的棱长为xcm，则
，
因为63＝216，所以x＝6．
答 正方体的棱长应为6cm．
问这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？
从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x3＝a，a是已知数，求x．
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cuberoot）（也叫做三次方根）．
试一试
（1）27的立方根是什么？
（2）－27的立方根是什么？
（3）0的立方根是什么？
请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．
2.立方根的表示方法：
3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
例1求下列各数的立方根：
（2）-125；
（3）-0.008；
（4）0．
根据上述练习提问：
（1）一个正数有几个立方根？
是否任何负数都有立方根？
如都有，一个负数有几个立方根？
0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
（2）一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？
例2用计算器求下列各数的立方根：
（1）1331；
（2）－343；
（3）9.263．
分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按
，也可以按
请思考下面的问题：
1.什么叫一个数的立方根？
怎样用符号表示数a的立方根？
a的取值范围是什么？
2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？
3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．
P71.2.5
12.2实数与数轴
（1）
1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.会比较两个实数的大小．
1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；
2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．
1.做一做：
（1）用计算器求
（2）利用平方关系验算所得结果．
这里，我们用计算器求得
=1.414213562，再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的
的值，只是一个近似值．
2.如果用计算机计算
，结果如何呢？
阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，
不是有理数．那么，
是怎样的数呢？
1.回顾有理数的概念．
（1）有理数包括整数和分数；
（2）任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数．
2.无理数的概念．
与有理数比较,
计算结果是无限不循环小数，所以
不是有理数．类似地，
、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
1.试一试：
你能在数轴上找到表示
的点吗？
如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是
，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示
的点，如图所示：
例1试估计
+
与π的大小关系．
说明：
正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行．
提问：
若将本题改为“试估计－（
）与－π的大小关系”，如何解答?
例2如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?
如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?
答 如果将所有的有理数都标到数轴上，数轴未被填满；
如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满．
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；
反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
P111.2.3
12.2实数与数轴
（2）
1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用；
2.能利用运算法则进行简单运算．
有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移．
1.复习提问：
（1）用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．
（2）用字母表示有理数的加法交换律和结合律．
（3）平方差公式？
完全平方公式？
（4）有理数的相反数是什么？
不为0的数的倒数是什么？
有理数的绝对值等于什么？
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
例1计算：
（结果精确到0.01）．
分析对于实数的运算,通常可以取他们的近似值来进行．
解用计算器求得
≈－0.778539072,
于是
≈0.778539072,
所以
≈1.570796327－0.778539072
＝0.792257255
1.一个数的绝对值就是这个数在数轴上表示的点到原点的距离；
2.互为相反数的两数在数轴上表示的点在原点两侧且到原点的距离相等（除0以外）；
3.从有理数扩大到实数，有理数的运算法则和运算律适用于实数．
1.借助计算器计算下列各题：
（2）
（4）
.
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？
你能解释这一规律吗？
与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：
第13章整式的乘除
§
13.1幂的运算
1、同底数幂的乘法
教学目的
1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.
2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算.
3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想.
4．会逆用公式aman＝am+n.
教学重点：
掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算.
教学难点：
对法则推导过程的理解及逆用法则.
一、复习活动，
1．填空.
（1）2×
2×
2＝（），a·
a·
…·
a＝（）
m个
（2）指出各部分名称.
二、探索，概括.
1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出23×
25＝（），36×
37＝（），由此可发现什么规律?
（1）23×
22＝（）×
（）＝2（），
（2）53×
52＝（）×
（）＝5（），
（3）a3a4＝（）×
（）＝a（）.
2．如果把a3×
a4中指数3和4分别换成字母m和n（m、n为正整数），你能写出aman的结果吗?
你写的是否正确?
即am·
an＝am＋n（m、n为正整数）
让学生用文字语言表述法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
三、举例及应用.
1．例1计算：
（1）103×
104
（2）a·
a3（3）a·
a3·
a5
解
（1）103×
104＝103+4＝107．
（2）a·
a3＝a1+3＝a4．
（3）a·
a5＝a4·
a5＝a9
2、练习第19页练习第1题.
3、提问：
通过以上练习，你对同底数是如何理解的？
在应用同底数幂的运算法则中，应注意什么？
四、拓展延伸.由aman＝am＋n，可得am＋n＝aman（m、n为正整数.）
例2已知am＝3，am＝8，则am＋n＝（）
五、巩固练习.P191.2.
六、课堂小结.
1．在运用同底数幂的乘法法则解题时，必须知道运算依据.
2．“同底数”可以是单项式，也可以是多项式.
3．不是同底数时，首先要化成同底数.
七、布置作业.课本第23页习题13.1第1题的1、
2、幂的乘方
1．熟记幂的乘方的运算法则，知道幂的乘方性质是根据乘方的童义和同底数幂的乘法性质推导出来的.
2．能熟练地进行幂的乘方的运算.
3．在双向应用幂的乘方运算公式中，培养学生思维的灵活性.
理解幂的乘方的意义，掌握幂的乘方法则.
注意与同底数幂的乘法的区别.
一、复习活动.
1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?
2．计算：
（1）a4·
a4·
a4；
（2）x3·
x3·
x3.
3．你会计算（a4）3与（x3）5吗?
二、新授.
1．x3表示什么意义?
2．如果把x换成a4，那么（a4）3表示什么意义?
3．怎样把a2·
a2·
a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式?
4．由此你会计算（a4）5吗?
5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.
（1）（23）2＝23×
23＝2（）；
（2）（32）3＝（）×
（）×
（）＝3（）；
（3）（a3）5＝a3×
（）＝a（ ）.
6．用同样的方法计算：
（a3）4；
（a11）9；
（b3）n（n为正整数）.
这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋3＋3＝12，教师应多举几例.
教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错.此时应让学生思考，有没有简捷的方法?
引导学生认真思考，并得到：
（23）2＝23×
2＝26；
（32）3＝32×
3＝36；
（a11）9＝a11×
9＝a99（b3）n＝b3×
n＝b3n
（现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?
结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?
）
怎样说明你的猜想是正确的?
即（am）n＝am·
an（m、n是正整数）.
这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
三、举例及应用.
1.例1计算：
（1）（103）5；
（2）（b3）4.
解
（1）（105）5＝103×
5＝1015．
（2）（b3）4＝b3×
4＝b12．
2．练习.课本第20页练习第2题.
3．例2下列计算过程是否正确?
（1）x2·
x6·
x3＋x5·
x4·
x＝xll＋x10＝x2l.
（2）（x4）2＋（x5）3＝x8＋x15＝x23
（3）a2·
a5＋a3·
a3＝a8＋a8＝2a8.（4）（a2）3＋a3·
a3＝a6＋a6＝2a6.
说明.
（1）要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错.
（2）进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系.
4．练习.课本第20页练习的第1题.
5．例3填空.
（1）a12＝（a3）（）＝（a2）（）＝a3·
a（）＝（a（））2；
（2）93＝3（）；
（3）32×
9n＝32×
3（）＝3（）.
（此题要求学生会逆用幂的乘方和同底数幂的乘法公式，灵活、简捷地解题.）
四、巩固练习.补充习题.
五、课堂小结.
1．（am）n＝am·
n（m、n是正整数），这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；
这里的指数是指幂指数及乘方的指数.
2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别.在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆（如：
am·
an＝amn（am）n＝am＋n）.并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.
六、布置作业.课本第23页习题第2题.
3、积的乘方
1.能说出积的乘方性质并会用式子表示.
2.使学生理解并掌握积的乘方的法则.
3.使学生能灵活地运用积的乘方的法则进行计算.
4.通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力.
探索积的乘方法则的形成过程.
积的乘方公式的推导及公式的逆用.
一、提问.
1.a2·
a3＝a5，也就是说：
（）.即am·
an＝am＋n（m、n为正整数）.
让学生明白所用到的运算法则及运算律.）
2.（a3）7＝a（），也就是说：
（）.即（am）n＝am·
n（m、n为正整数.）
（让学生明白同底数幂的乘法与幂的乘方法则的区别.）
二、引导观察.
1.计算.
22×
32＝4×
9＝36.（2×
3）2＝（2×
3）（2×
3）＝6×
6＝36.
从而得到：
（2×
3）2＝22×
32＝36.进而猜想：
（ab）2与a2b2是否相等?
2.探索，概括.
于是我们得到了积的乘方法则：
（ab）n＝anbn（n是正整数）.
这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积.
教师应一步一步地引导学生，得出结论（因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点）.然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则.
3．引导学生剖析积的乘方法则.
问题:
三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质?
（1）（abc）n＝（ab）ncn＝anbncn.
即（abc）n＝anbncn（n为正整数）.
1．例1计算：
（1）（2b）3；
（2）（2×
a3）2；
（3）（－a）3；
（4）（－3x）4.
解
（1）（2b）3＝23b3＝8b3．
（2）（2×
a3）2＝22×
（a3）2＝4×
a6．
（3）（－a）3＝（－1）3·
a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·
x4＝81x4
（第
（1）题由学生回答，教师板演，并要求学生说出每一步的根据是什么；
第
（2）、（3）、（4）题由学生完成，根据学生完成的情况，提醒学生注意：
①系数的乘方；
②因数中若有幂的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方.）
2．练习.课本第21页练习的第1题.
五、拓展延伸.
因为（ab）n＝anbn，所以anbn＝（ab）n.
逆用性质进行计算：
（1）24×
44×
0.1254＝（2×
4×
0.125）4.
（2）（－4）2002×
（0.25）2002＝?
六、看谁做的又快又正确?
1．（－5ab）2＝（）2．（xy2）3＝（）3．（－2xy3）4＝（）；
4．（－2×
103）＝（）；
5．（－3a）3＝（）.
七、开放性练习.
准备若干张边长为a的小正方形纸片，让学生前后位四人一组，动手拼图形.
现有若干个边长为a的小正方形纸片，你能拼出一个新的正方形吗?
多少个小正方形才能拼成一个新的正方形?
并用不同的表示方法表示新正方形的面积.从不同的表示法中，你发现了什么?
八、课堂小结.
这节课你有什么收获?
学到了什么?
还有哪些需要老师帮你解决的问题?
请注意：
积的乘方要将每一因式（特别是系数）都要乘方.
九、布置作业.课本第23页习题13.1第4题
13.2同底数幂的除法
教学目的：
1、能说出同底数幂相除的法则，并正确地进行同底数幂的除法运算；
2、理解任何不等于零的数的零次幂都等于1；
3、能正确进行有关同底数幂的乘除混合运算。
掌握同底数幂的除法的运算性质，会用之熟练计算；
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