高一数学经典例题及解法.docx
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集合
集合,本身就是一个强有力的数学工具,高中数学学习的集合,可以说,仅仅是集合世界里的沧海一粟,我们学习了集合的概念,子集交集并集等概念,一些简单的集合运算与集合间的关系,但是高中考查集合的题目,基本上属于容易题,但也不乏中难题。
做集合的题目,一定要细心,要特别当心的,比如有没有讨论空集啊,真子集和子集的区别啊,交集和并集有没有取错啊,等等。
基础知识
一、集合1、含义与表示:
(1)集合中元素的特征:
确定性,互异性,无序性
(2)集合的分类;有限集,无限集(3)集合的表示法:
列举法,描述法,图示法
2、集合间的关系:
子集:
对任意,都有,则称A是B的子集。
记作
真子集:
若A是B的子集,且在B中至少存在一个元素不属于A,则A是B的真子集,
记作AB集合相等:
若:
则
3.元素与集合的关系:
属于不属于:
空集:
4、集合的运算:
并集:
由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集,记为
交集:
由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集,记为
补集:
在全集U中,由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集,
记为
5.集合的子集个数共有个;真子集有–1个;非空子集有–1个;
6.常用数集:
自然数集:
N正整数集:
整数集:
Z有理数集:
Q实数集:
R
例题
【分析】A中至多有一个元素,换句话说,方程至多有一个解,也就是说,要么,方程无解,要么方程只有一个解。
又因为二次项系数是a,我们不能确定这个方程到底是一元一次方程还是一元二次方程,所以就要对a是否等于0进行分类讨论。
函数
高一的函数包含了初中已学过的一次函数、二次函数、反比例函数,但是更多的,注重这些函数本质的研究,研究的是多种形式共存的函数的共性——单调性、奇偶性、周期性等等,都是函数重要的性质。
函数的多重转化,也许一个函数只是一个数,也可以使一个式子,也可以是多个不同种类的函数组成一个新的函数。
研究函数,不仅要从解析式,更要从图像、从实际应用的角度出发,构建一个完整的数学体系。
基础知识
一、函数的奇偶性
1、定义:
奇函数<=>f(–x)=–f(x),偶函数<=>f(–x)=f(x)(注意定义域)
2、性质:
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;
(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;
(3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
二、函数的单调性
1、定义:
对于定义域为D的函数f(x),若任意的x1,x2∈D,且x1①f(x1)f(x1)–f(x2)<0<=>f(x)是增函数
②f(x1)>f(x2)<=>f(x1)–f(x2)>0<=>f(x)是减函数
2、复合函数的单调性:
同增异减
三、二次函数y=ax2+bx+c()的性质
1、顶点坐标公式:
,对称轴:
,最大(小)值:
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)两根式.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则:
(1)am•an=am+n,
(2),(3)(am)n=amn(4)(ab)n=an•bn
(5)(6)a0=1(a≠0)(7)(8)(9)
2、根式的性质
(1).
(2)当为奇数时,;当为偶数时,.
4、指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质:
(1)定义域:
R;值域:
(0,+∞)
(2)图象过定点(0,1)
Y
0
X
1
a>1
0
Y
X
1
05.指数式与对数式的互化:
.
五、对数与对数函数
1对数的运算法则:
(1)ab=N<=>b=logaN
(2)loga1=0(3)logaa=1(4)logaab=b(5)alogaN=N
(6)loga(MN)=logaM+logaN(7)loga()=logaM--logaN
(8)logaNb=blogaN(9)换底公式:
logaN=
(10)推论(,且,,且,,).
(11)logaN=(12)常用对数:
lgN=log10N(13)自然对数:
lnA=logeA(其中e=2.71828…)2、对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质:
(1)定义域:
(0,+∞);值域:
R
(2)图象过定点(1,0)
X
0
Y
1
00
Y
X
1
a>1
六、幂函数y=xa的图象:
(1)根据a的取值画出函数在第一象限的简图.
a<0
0a>1
例如:
y=x2
七.图象平移:
若将函数的图象右移、上移个单位,
得到函数的图象;规律:
左加右减,上加下减
八.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
九、函数的零点:
1.定义:
对于,把使的X叫的零点。
即
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条
曲线,并有,那么在区间内有零点,即存在,
使得,这个C就是零点。
例题
:
0≤x≤2→0≤2x≤4→f(x)定义域为【0,4】,又因为x≠1所以g(x)定义域为【0,1)∪(1,4】
下面是关于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的例题,这一部分既是重点知识,也是高考必考的难点。