Riemann 猜想漫谈 十一Word格式文档下载.docx

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无独有偶，二十世纪的Princeton高等研究院也出了一位有同样“坏毛病”的数学家，那便是挪威数学家AtleSelberg（1917-2019）。

Selberg在Riemann猜想的研究中也有着极为重要的地位，我们在后文中将会更多地介绍他，这里就先不赘述了。

让Montgomery放心不下的就是自己会不会与Selberg“撞车”？

自己的这项研究工作会不会不幸地在Selberg的某一叠草稿纸上已经有了？

当然，除此之外他也很想顺便听听这位Riemann猜想研究领域中的顶尖高手对自己这项研究的看法，尤其是想听听他对这项研究背后可能隐藏着的深义的理解。

于是在返回英国前他决定在Princeton高等研究院做短暂的停留，以便会见一下Selberg。

Montgomery如愿见到了Selberg。

但Selberg听完了他的工作介绍后只是礼貌地表示了兴趣，却没有提出具体意见。

不过他总算也没有说：

“干得不错，小伙子，但是N年前我就已经证明过这样的结果了”，还是让Montgomery松了一口气。

见过Selberg，心事算基本了却了，Montgomery便和他的朋友、印度数学家SarvadamanChowla（1907-2019）一同到高等研究院的FuldHall去喝下午茶。

喝下午茶是一种很普通的休闲，但对Princeton高等研究院（以及其它很多美国高校及研究所）来说，却是学术氛围的一个重要组成部份。

在这一时间里，来自世界各地、从事不同研究的学者们在茶室里互相攀谈，交流看法，往往会撞击出一些意想不到的智慧火花。

Montgomery的这次下午茶就是一个很好的例子。

Montgomery和Chowla正在喝茶闲聊的时候，一位物理学家走了进来。

在Princeton高等研究院这样一个科学家阵容豪华得近乎奢侈的地方，在随便哪个角落碰上的都可能是非同小可的人物。

这位漫步走进茶室的物理学家也不例外。

此人在二十世纪中叶曾因证明了量子电动力学（QuantumElectrodynamics）的几种形式体系彼此等价，而获得了很高的声誉，也为他赢得了Princeton高等研究院的终生职位。

而这项研究还只不过是他科学生涯中许许多多研究中的一项。

他的研究涉及到核物理、凝聚态物理、天体物理，乃至天体生物学等诸多领域。

这位物理学家便是来自英国的FreemanDyson（1923-）。

在二十世纪物理殿堂的璀璨群星中Dyson当然远不是最杰出的，但那个午后他和Montgomery的世界线在高等研究院的短暂交汇，却是科学史上一段令人难忘的佳话，对于Riemann猜想的研究来说也是一个奇峰突起的精彩篇章。

Chowla是一位交际高手，他一边和Montgomery喝茶聊天，一边仍能眼观六路、耳听八方。

Dyson刚一进门就被他发现了，于是他问Montgomery：

“你见过Dyson吗？

”，Montgomery说没有，Chowla就说我给你引见一下。

Montgomery心想自己做的东西和Dyson八杆子都打不着，再说喝完茶就走人了，何必还要特意打扰Dyson呢？

就说不必了。

但Chowla却是一个从来不把“不”字当成答案的家伙，当下二话不说就把Montgomery拽到了Dyson跟前（谢谢Chowla！

）。

就这样Dyson和Montgomery攀谈了起来。

遵循着此类谈话的固有模式，年长的Dyson问起了年轻的Montgomery最近在研究什么？

Montgomery就把自己对Riemannζ函数非平凡零点分布的研究叙述了一下。

Dyson礼貌地听着，他对这一领域并不熟悉。

连本领域的顶尖高手Selberg都未曾发表具体看法，Montgomery也并不指望对一个物理学家的这番泛泛介绍会得到比礼貌地点点头更多的回应。

但当他介绍到自己所猜测的密度函数ρ（t）=1-[sin（πt）/πt]2（详见第十六节）时，Dyson的眼睛猛地睁大了！

因为这个让Montgomery找不到北，甚至连Selberg也看不出端倪来的密度函数对Dyson来说却一点也不陌生，那是所谓的随机厄密矩阵（randomHermitianmatrices）本征值的对关联函数。

物理学家们研究这类东西已经有二十年了！

而且Dyson本人也早在十年前就系统地研究过随机矩阵理论，是这一领域公认的先驱者之一。

即使找遍整个世界，也不可能找到一个比Dyson更合适的人来和Montgomery共喝那杯下午茶了。

他们的相遇本身就是一个幸运的奇迹[注一]。

十八.随机矩阵理论

身为理论物理学家的Dyson如何会研究起随机矩阵理论来的呢？

这当然还得从物理学说起。

我们知道，在物理学上可以严格求解的问题是少之又少的。

而且物理理论越发展，可以严格求解的问题就越少。

举个例子来说，在Newton引力理论中二体问题可以严格求解，但一般的三体问题就不行[注二]；

到了广义相对论中连一般的二体问题也解不出了，只有单体问题还可以严格求解；

而到了量子场论中更是连单体问题也解不成了（因为根本就不存在单体问题了）。

另一方面，现实物理中的体系却往往既不是单体，也不是二体或三体，而是多体。

这“多”字少则十几、几十（比如大一点的原子、分子），多则1023（千万亿亿）或更多（比如宏观体系）。

很明显，对现实物理体系的研究离不开各种各样的近似方法。

这其中很重要的一类近似方法就是统计方法，由此形成了物理学的一个重要分支：

统计物理（statisticalphysics）。

在统计物理中，人们不再着眼于对物理体系的微观状态进行细致描述（因为这种细致描述不仅无法做到，而且对于确定体系的宏观行为来说是完全不必要的），取而代之的是“系综”（ensemble）的概念。

所谓“系综”，指的是满足一定宏观约束条件的大量全同体系的集合，这些体系的微观状态各不相同，但满足一定的统计分布，而我们感兴趣的体系的宏观状态则由相应的物理量在这些体系上的平均值——即所谓的系综平均值——所给出。

在传统的统计物理中，组成系综的那些全同体系具有相同的哈密顿量（Hamiltonian）[注三]，只有它们的微观状态才是随机的。

但随着研究的深入，物理学家们开始接触到一些连这种方法也无法处理的物理体系，其中一个典型的例子就是由大量质子和中子组成的原子核。

这种体系的相互作用具备了所有可以想象得到的“坏品质”（比如耦合常数很大，不是二体相互作用，不是有心相互作用，等等），简直可以说是“五毒俱全”。

对于这种体系，我们甚至连它的哈密顿量是什么都无法确定。

这样的体系该如何处理呢？

很显然还是离不开统计的方法，离不开系综的概念。

只不过以前在系综中哈密顿量是已知的，只有各体系的微观状态是随机的，现在却连哈密顿量也不知道了。

既然如此，那就“一不做、二不休”，干脆把哈密顿量也一并随机化了。

由于在量子理论中哈密顿量可以用矩阵来表示，因此这种带有随机哈密顿量的系综可以用随机矩阵理论（randommatrixtheory）来描述。

这一点最早是由美籍匈牙利数学及物理学家EugeneWigner（1902-2019）于1951年提出的[注四]。

当然，把哈密顿量随机化不等于说对哈密顿量的结构就没有任何限制了。

二十世纪六十年代初，与Montgomery在茶室里偶遇的这位Dyson对随机矩阵理论进行了深入研究，并在1962年一连发表了五篇非常漂亮的论文。

这些论文在随机矩阵理论的发展史上具有奠基性的作用。

在这些论文中，Dyson证明了由随机矩阵理论所描述的物理体系可以按照其在时间反演变换T的作用下的变换性质，而分为三种类型：

如果体系不具有时间反演不变性，则体系的演化算符为幺正矩阵（unitarymatrices）。

如果体系具有时间反演不变性，且T2=I，则体系的演化算符为正交矩阵（orthogonalmatrices）。

如果体系具有时间反演不变性，且T2=-I，则体系的演化算符为辛矩阵（symplecticmatrices）。

这里Dyson用演化算符U取代了哈密顿量H，这两者之间由U=exp（-iHt）相联系。

用演化算符的好处是它的参数空间是紧致（compact）的。

除了利用对称性对体系演化算符的结构进行分类外，还有一个需要解决的问题，就是哈密顿量的分布函数。

Dyson引进的是Gauss型分布，这是数学物理中比较常见的一种分布。

在这种分布下具有上述三种对称性的系综分别被称为：

Gauss幺正系综（GaussianUnitaryEnsemble——简称GUE）、Gauss正交系综（GaussianOrthogonalEnsemble——简称GOE）和Gauss辛系综（GaussianSymplecticEnsemble——简称GSE）。

Dyson在得知了Montgomery的密度函数时猛然想起的“随机厄密矩阵”所描述的正是这三种系综中的一种——即Gauss幺正系综——的哈密顿量（因为Gauss幺正系综的演化算符是幺正的，所对应的哈密顿量则是厄密的），它的几率测度定义为Gauss型分布：

P（H）dH=Cexp[-tr（H2）/2σ2]dH

其中C为归一化常数，H为体系的哈密顿量，σ为标准差（通常取为2-1/2）。

有了哈密顿量，接下来要关注的当然就是能级分布。

对于一个量子体系来说，能级分布无论在理论还是观测上都是极其重要的性质。

这也是随机矩阵理论中物理学家们最感兴趣的东西之一。

物理学家所说的能级用数学术语来说就是哈密顿量的本征值（eigenvalue）。

那么随机厄密矩阵的本征值是怎样分布的呢？

分析表明，一个N阶随机厄密矩阵的本征值的分布密度为：

P（λ1,...,λN）=Cexp[-Σiλi2]Πjk（λj-λk）2

其中λ1,...,λN为本征值，C为归一化常数。

通过对这一分布密度的积分，我们可以计算出随机厄密矩阵本征值的各种关联函数。

但是这些关联函数的表观复杂程度与本征值的平均间距有很大关系，因此我们要先对本征值做一点处理，以便简化结果。

这一处理所依据的是Wigner曾经证明过的一个结果，那就是当矩阵阶数N→∞时，N阶随机厄密矩阵的本征值趋近于区间[-2（2N）1/2,2（2N）1/2]上的半圆状分布，即：

P（λ）dλ=（8N-λ2）1/2dλ/4π

其中P（λ）dλ为区间（λ,λ+dλ）上的本征值个数。

这一规律被称为Wigner半圆律（Wignersemicirclelaw）。

利用这一规律，我们可以对本征值做一个标度变换，引进：

μ=λ（8N-λ2）1/2/4π

可以证明（请读者自己证明），这一变换就像我们在第十六节中对Riemannζ函数零点虚部所做的处理将零点的平均间距归一化那样，将本征值的平均间距归一化为了Δμ~1。

在这种间距归一化的本征值下，关联函数的形式变得相对简单，其中对关联函数的计算结果为：

P2（μ1,μ2）=1-[sin（π|μ2-μ1|）/π|μ2-μ1|]2

看到这里，大家想必也和Dyson一样看出来了，随机厄密矩阵本征值的对关联函数正是我们在第十六节中介绍过的，Montgomery所猜测的Riemannζ函数非平凡零点的对关联函数！

当然，那时候Montgomery用的不是像“对关联函数”这样摩登的术语，事实上“对关联函数”这一术语Montgomery在与Dyson交谈前连听都没听说过，他自己用的是像“我正在研究零点间距”那样土得掉渣的“白话文”。

有些读者可能会提出这样一个问题，那就是哈密顿量的分布为什么要选择成Gauss型分布？

对于这个问题，实用主义的回答是：

Gauss型分布是数学上比较容易处理的（不要小看这样的理由，当问题复杂到一定程度时，这种理由有时侯是最具有压倒性的）；

稍为深刻一点的回答则是：

Gauss型分布在固定的|H|2系综平均值及标准差下具有最大的熵，换句话说它所描述的是在一定的约束之下具有最大随机性的体系；

但最深刻的回答却是：

我们其实并不需要特意选择Gauss型分布！

随机矩阵理论的一个非常引人注目的特点便是：

在矩阵阶数N→∞的极限下它的本征值分布具有普适性（即不依赖于哈密顿量的特定分布）。

正是这种普适性使得随机矩阵理论在从复杂量子体系的能级分布到无序介质中的波动现象，从神经网络系统到量子混沌，从Nc→∞的QCD到二维量子引力的极为广阔的领域中都得到了应用。

但即便把随机矩阵理论在所有这些不同尺度、不同维度、不同领域中的应用加在一起，似乎也不如它与Riemannζ函数非平凡零点分布之间的关联来得神奇。

Montgomery曾经为不知道自己的结果预示着什么而苦恼，现在他知道了那样的结果也出现在由随机矩阵理论所描述的一系列物理现象之中。

但这是解惑吗？

这与其说是解惑，不如说是一种更大的困惑。

像Riemannζ函数非平凡零点分布这样最纯粹的数学性质，怎么会与像复杂量子体系、无序介质、神经网络之类的最现实的物理现象扯上关系呢？

这种神奇的关联本身又预示着什么呢？

注释

1.有意思的是，在与Montgomery的这次“茶室邂逅”的前一年（即1972年），Dyson刚刚写过一篇题为“MissedOpportunity”（“错过的机会”）的文章，叙述了科学史上由于数学家与物理学家之间的交流不够而错失发现的一些事例。

2.这里的“单体”、“二体”、“三体”等指的都是点状分布或可视为点状分布的体系。

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;

而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?

还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

3.哈密顿量是决定体系动力学行为的一个很重要的物理量。

在量子理论中，体系的能级由哈密顿量的本征值所决定。

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；

而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

4.当然，在随机矩阵本身的提出上，数学家还是要先于物理学家。

随机矩阵在数学上最早是1928年由苏格兰统计学家JohnWishart（1898-1956）提出的。

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