方程组中考复习精要Word格式文档下载.docx

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次方程z2-5z+4=0的两个根，解得z=1或z=4，因此原方程组的解为

三、性质类

1、等式的基本性质是解方程的基石，凡产生增根或失根，都因与等式基本性质不符造成.

2、一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系.使用根与系数的关系定理，一定要保证根的判别式△≥0；

而使用根的判别式，首先要保证原方程为一元二次方程（二次项系数a≠0）.

例5（2000年河北）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是_______.

因为原方程有两个实数根，所以△=[2（k+1）]2-4k（k-1）=12k+4≥0，解得k≥-1/3；

又因为原方程为关于x的一元二次方程，所以k≠0.

∴k的取值范围是k≥-1/3且k≠0.

例6（2001年河北）若x1,x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根，则1/x1+1/x2的值是（）

（A）-1;

（B）0;

（C）1;

（D）2.

由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-1/3，x1x2=-1/3.

∴1/x1+1/x2=（x1+x2）/x1x2=（-1/3）/（-1/3）=1.故选（C）.

四、应用类

应该承认，方程应用题的地位受到函数应用题的严峻挑战，其出路只有一条：

改革创新.就其发展趋势而言，突出了具有时代气息的实际背景，关注社会热点，贴近现实生活；

出现了开放性较强的试题，甚至让学生编拟应用题，培养和考查创新能力；

加入了图表等多种信息，锻炼学生对各种信息的综合和分析处理能力.

例7（2001年河北）某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%.这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是（）

（A）1400和2800；

（B）1900和2300；

（C）2800和1400；

（D）2300和1900.

当前，由于种种原因，中学阶段的入学人数猛增，这一社会问题又贴近学生生活实际，让学生感到亲切自然.如果设这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是x，y，那么，根据题意可以列方程组

解得x=1400,y=2800.故选（A）.

例8（2001年黑龙江哈尔滨）“丽园”开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付给甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元.

（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品.

（2）公司制定产品加工方案如下：

可以由每个厂家单独完成；

也可以由两个厂家同时合作完成.在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的误餐补助费.

请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由.

命题瞄准了市场经济的大背景，显示数学知识的巨大作用.

（1）设甲工厂每天能加工x件新产品,则乙工厂每天能加工（x+8）件新产品，根据题意，得960/x=960/（x+8）+20,解得x1=16,x2=-24.

经检验，x1=16,x2=-24都是原方程的根，但x2=-24不合题意，舍去.

∴x+8=24.

即甲、乙两个工厂每天各能加工16件、24件新产品.

（2）根据公司制定的方案，有三种选择，应从中找出最优者.

易得，甲工厂单独加工完这批产品所需时间为960/16=60（天）,

所需费用为80×

60+5×

60=5100（元）；

乙工厂单独加工完这批产品所需时间为960/24=40（天），

所需费用为120×

40+5×

40=5000（元）；

设两个厂家同时合作加工完这批产品所需时间为y天,则有

y/60+y/40=1,解得y=24（天），

所需费用为（80+120）×

24+5×

24=4920（元）.

∴两个厂家同时合作完成比较合适.

例9（2001年宁夏）编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答.

编题要求：

（1）题目完整，题意清楚。

（2）题意与方程的解都要符合实际。

本题旨在训练逆向思维能力和语言表达能力，具有较强的开放性。

一般可以先确定一个方程，比如100（1+x）2=144,再据此编题。

例10（2001年湖南邵阳）如图1-1，在宽为20米，长为32米的矩形耕地上，修筑三条同样宽的耕作道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，要使耕地面积为504平方米，道路宽应为多少？

对图形的信息处理，可以从数学化的角度，把一横两纵三条道路都移至靠近矩形的边上，如图1-2所示，剩余的耕地面积不变。

于是，设道路宽应为x米，则有（20-x）（32-2x）=504,解得x1=2,x2=34（不合题意，舍去）.

五、综合类

1、方程中各知识点的综合.

2、与其它代数知识的综合.

3、与几何知识的综合.

例11（2001年江苏盐城）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0①与x2-（2k-1）x+k2-k-2=0②.

（1）当k为何值时，方程①有实数根；

（2）若方程①的两个实数根α、β的倒数和等于方程②的一个实数根，求k的值。

（1）对照例5，可知，当方程①是一元二次方程时，k≥-1/3且k≠0；

但是，题干中并未明确方程①是一元二次方程，它还有可能是一元一次方程，此时，k=0,方程①变为-2x-1=0,解得=-1/2.

∴当k≥-1/3时，方程①有实数根。

（2）在此小题中，方程①、②都是一元二次方程。

对于方程①，由根与系数关系，得α+β=2（k+1）/k,αβ=（k-1）/k,

∴1/α+1/β=（α+β）/αβ=2（k+1）/（k-1）；

对于方程②，用因式分解法变形为

（x-k+2）（x-k-1）=0,解得x1=k-2，x2=k+1。

由题意得2（k+1）/（k-1）=k-2，解得k=0或k=5;

或者由2（k+1）/（k-1）=k+1，解得k=3.

由

（1）可知，方程①是一元二次方程，并且有实数根时，k≥-1/3且k≠0，故舍去k=0.

∴k的值为3或5.

解答此题，用到了定义、解法与性质三类知识，具有一定的综合性。

例12（2001年甘肃）某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。

这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下：

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计产值最多。

设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，则种植小麦（50-x-y）亩，根据题意列方程，得

整理，得y=90-3x.

则种植小麦50-x-y=50-x-（90-3x）=（2x-40）（亩）.

由不等式组,

解得20≤x≤30.

若设预计总产值为w（元），则

w=1100x+750y+600（50-x-y）=1100x+750（90-3x）+600（2x-40）=50x+43500.

∵50〉0，由一次函数性质可知，w随x的增大而增大，

∴当x=30时，y=0，50-x-y=20，w最大值=50×

30+43500=45000（元）。

此时，种植蔬菜、小麦的人数分别为15人、5人，不种烟叶。

这道题综合了方程、不等式、函数等诸多的代数知识，属于代数综合题。

例13（2001年河北）已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a=c.若关于x的一元二次方程ax2-

bx+c=0的两根之差为

，则等腰三角形的一个底角是（）

（A）15°

;

（B）30°

（C）45°

（D）60°

.

设原方程的两根为x1，x2，则由题意，得

x1+x2=

b/a，x1·

x2=c/a=1，a>

0,b>

0.

则2b2/a2-4=2,b2/a2=3.由a>

0，可知b=

a.

根据题意作△ABC及其底边AC上的高BD，如图2，则AD=CD=b/2.

在Rt△BCD中，cos∠C=CD/BC=（b/2）/a=（

a/2）/a=

/2.

∴∠C=30°

故选（B）.

此题将方程与三角形、解直角三角形等几何知识作了综合，是2001年河北省中考选择题部分的的“压轴题”.

例14（2001年山东济南）如图3，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成。

设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为_____________.

欲求矩形的各边长，用几何方法很难奏效，如果用方程思想解决则轻而易举。

若设两个相同的小正方形边长为x，则其余的三个较大的正方形的边长分别为x+1,x+2,x+3。

由于矩形的对边相等，所以可以列出方程（x+1）+2x=（x+2）+（x+3），解得x=4,则x+1=5,x+2=6,x+3=7,矩形的两条邻边分别为13，11，矩形面积为13×

11=143.

例15（2001年北京石景山）已知：

如图4，BC是⊙O的直径，点A为CB延长线上一点，且AB=（1/2）BC=2.作割线APM交⊙O于点P、M，使AP：

PM=3:

2.连结MO并延长交⊙O于点N,连结PN并BC于点E.PF切⊙O于点P，交AB于点F.

（1）求证：

MO⊥AC;

（2）求证：

AF·

PN=OM·

AP；

（3）求线段BF的长。

（1）由AP：

2，可设AP=3x,则PM=2x，AM=5x.

根据切割线定理，得AP·

AM=AB·

AC，2x·

5x=2×

6，x=2√5/5.

∴AP=6√5/5,PM=4√5/5,AM=2√5.

∵△AOM中，AM2=20,AO2=16,OM2=4,AO2+OM2=AM2

∴∠AOM=90°

MO⊥AC.

（2）连结OP.

易证∠A=90°

-∠M=∠N,∠APF=90°

-∠FPE=∠NPO.

∴△APF∽△NPO,从而AF/AP=ON/PN,AF·

PN=ON·

AP.

∵OM=ON,∴AF·

（3）由切割线定理，得FP2=FB·

FC.

设AF=y,则PF=AF=y,BF=2-y,CF=6-y,

∴y2=（2-y）（6-y）.解得y=3/2.

∴BF=2-y=1/2.

通过这道例题，可以进一步发现方程思想在解答数学问题中的重要作用。

附：

2002年方程（组）中考题集萃

一、选择题：

1、（内江）（02内江市）关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2－2m－3=0有一根是0，则m的值是（）.

A.m=3或m=－1B.m=－3或m=1C.m=－1D.m=3

2、（包头）（02包头市）关于x的一元二次方程x2－（k+1）x+k=0的根的情况是（）.

A.有两个不相等的实数根B.总有实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

3、（益阳）已知

是方程组

的解，则（a+b）（a－b）的值是（）

（A）7（B）－7（C）49（D）－49

4、（包头市）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少。

若设二、三月份平均每月的增长为x，则可得方程（）.

A.560（1+x）2=1850

B.560+560（1+x）2=1850

C.560（1+x）＋560（1+x）2=1850

D.560+560（1+x）+560（1＋x）2=1850

5、（宁夏）某化肥厂原计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等．那么适合x的方程是（）．

A.

B．

C．

D．

6、（聊城）“五·

一”江北水城（聊城）文化旅游期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租价为180元．出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费．若设参加游览的学生共有x人，则所列方程为（）

（A）

=3（B）

=3（C）

=3（D）

=3

二、填空题：

1、（漳州）用换元法解分式方程x2－x－

－4=0时，若设x2－x=y，则原方程可变形为关于y的方程是．

2、（内江）（02内江市）若关于x的方程

无解，则k的取值范围是_________.

3、（汕头）方程组

解是　　______　　

4、（内江）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－2m=1，n2－2n=l，那么代数式2m2+4n2－4n+1999=______

三、解答题：

1、（内江）（02内江市）解方程：

3x－

+

=5．

2、（达州）．（02达州市）已知一元二次方程2x2+3x－5＝0，不解方程，求以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程

3、（漳州）已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2－m=0．①

（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；

（2）请你利用

（1）所得的结论，任取m的一个数值代入方程①，并用配方法求出此方程的两个实数根．

4、（汕头）（02汕头市）如果关于x的方程x2＋（2k－3）x+k2－3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和。

求；

（1）K的值；

（2）方程的两个实数根的平方和

5、（黑龙江）是否存在这样的非负整数m。

使关于x的一元二次方程

有两个实数根，若存在。

请求出m的值；

若不存在，请说明理由。

6、（十堰）已知方程组

⑴当m取何值时，方程组有两个不相同的实数解；

⑵若x1、y1；

x2、y2是方程组的两个不同的实数解,且︱x1－x2︱=

︱y1y2︱，求m的值。

7、（宁夏）先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答（第1小题3分，第2小题5分）．

（1）如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根，并且a≠0，求的值．

（①ab②

③a+b④a－b

（2）已知7x2+5y2=12xy，并且xy≠0，求的值．

（①xy②

③x+y④x－y）

8、（包头）（02包头市）已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且

（m≠0，n≠0）.

（1）试求用m和n表示

的式子；

（2）是否存在实数m和n，满足

使

成立，若存在求出m和n的值；

若不存在说明理由。

9、（三明）（02三明市）这是一位学生编制的初中数学练习题：

“x1、x2是方程x2－2x+2=0的两个实数根，求

的值”。

另一位初三学生的解答是：

“∵x1＋x2＝x1x2＝2，∴

＝（x1+x2）2－2x1x2＝22－2×

2=0”

⑴针对练习题和解答的正误作出判决，再简要说明理由；

⑵只对原练习题的方程进行变式，其它条件不变，改求的值。

四、应用题：

1、（宁夏）（02宁夏）应用题（下列题目只要求设出未知数，列出方程或方程组，不要求解）

（1）为加快西部大开发，我区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；

如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．问原来规定修好这条公路需多长时间?

（2）甲、乙两车分别自A、B两地出发，相向而行。

相遇于C点时，甲车比乙车多走108千米；

相遇后，甲车再经过9小时到达B地，乙车再经过16小时到达A地．求甲、乙两车的速度．

2、（包头）列方程或方程组解应用题

（02包头市）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元.在进行市场调查后，为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果销售比计划增加了400套，总利润比计划多得了4000元.问实际销售运动衣多少套?

每套运动衣实际利润多少元?

3、（漳州）为赴韩国观看中国足球队参加世界杯比赛，8名球迷分别乘坐两辆小汽车一起赶入飞机场．其中一辆小汽车在距机场15千米的地方出了故障，此时，距规定到达机场的时间仅剩42分钟，但唯一可以使用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘坐5人．这辆汽车分两批送这8人去机场，平均速度60千米／时．现拟两种方案，问是否都能使8名球迷在规定的时间内赶到机场?

（1）小汽车送走第一批人后，第二批人在原地等待汽车返回接送；

（2）小汽车送走第一批人的同时，第二批人以5千米／时的平均速度往机场方向步行，等途中遇返回的汽车时上车前行．

4、（汕头）“水是生命之源”，我市自来水供水公司为鼓励企业节约用水，按以下规定收取水费：

如果用户每月用水不超过40吨，那么每吨水按1元收费；

如果用户每月用水超过40吨，那么超过部分按每吨1．5元收费．另外，每吨用水加收0．2元的城市污水处理费．市自来水供水公司收费处规定用户每两个月交一次用水费用（注：

用水费用：

水费+城市污水处理费）．

某企业每月用水超过40吨，已知今年三、四两个月一共缴交用水费用640元．问：

该企业三、四两个月共用水多少吨?

这两个月平均水费每吨多少元?

5、（泰州）请根据所给方程

，联系生活实际，编写一道应用题。

（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

五、综合题：

1、（济南）在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3,b和c是关于x的方程x2十mx十2－

m＝0的两个实数根，求△ABC的周长．

2、（盐城）由于乱砍伐等人为因素，1990～2000年的10年时间里，全世界森林面积呈直线下降趋势，其图象如下图所示，请根据图中所给的数据：

（1）算出这10年内全世界森林面积平均每年减少多少亿公顷；

（2）写出这10年内全世界每年的森林面积S（亿公顷）与年份X之间的函数关系式；

（3）若这10年内全世界每年砍伐的与每年增加的（指自然增加及植树）森林面积均不变，且每年砍伐面积是每年增加面积的3倍少0．01亿公顷，问这10年内世界每年砍伐的森林面积为多少亿公顷？

3、（河北）如图12,在矩形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米.点P沿AB边从A开始向点B以2

的速度移动;

点Q沿DA边从点D开始向点A以1

的速度移动.如果P、Q同时出发,用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）,那么:

（1）当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QPAC的面积;

提出一个与计算结果有关的结论;

（3）当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与⊿ABC相似？