倒立摆与自动控制原理课程设计文档格式.docx

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分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

（1）

即：

（2）

把这个等式代入式（3-1）中，就得到系统的第一个运动方程：

（3）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

（4）

（5）

力矩平衡方程如下：

（6）

此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosφ=-cosθ,sinφ=-sinθ，故等式

前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

（7）

设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧

dθ2

度）相比很小，即φ<

<

1，则可以进行近似处理：

（8）

用，来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

（9）

（10）

推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

（11）

或

（12）

如果令v=x，则有：

（13）

把上式代入方程组的第二个方程，得到：

（14）

整理后得到传递函数：

（15）

其中

（16）

设系统状态空间方程为：

（19）

由（9）方程为：

（17）

对于质量均匀分布的摆杆有：

于是可以得到：

（18）

化简得到：

实际系统的模型参数如下:

M小车质量1.096Kg

m摆杆质量0.109Kg

b小车摩擦系数0.1N/m/sec

l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m

I摆杆惯量0.0034kg*m*m

把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：

（20）

摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

（21）

可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统

的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可

以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。

1.2直线一级倒立摆频率响应控制实验

系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。

在频率响应方法中，我们在一

定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。

频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数

坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表

示相角和频率的关系；

一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷

大时，向量G（jω）G（jω）的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳

定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝

的稳定性和相对稳定性。

1.2.1频率响应分析

原系统的开环传递函数为：

（22）

其中输入为小车的加速度V（s），输出为摆杆的角度Φ（s）。

在MATLAB下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。

绘制Bode图的命令为：

Bode（sys）

绘制奈魁斯特图的命令为：

Nyquist（sys）

在MATLAB中键入以下命令：

clear;

num=[0.02725];

den=[0.01021250-0.2

z=roots（num）;

p=roots（den）;

subplot（2,1,1）

bode（num,den）

subplot（2,1,2）

nyquist（num,den）

得到如图4示的结果：

z=

Emptymatrix:

0-by-1

p=

5.1136

-5.1136

图4原系统Bodel图和Nyquist图

可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s平面，

根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：

当ω从-∞到变+∞

化时，开环传递函数G（jω）沿逆时针方向包围-1点p圈，其中p为开环传递函数

在右半S平面内的极点数。

对于直线一级倒立摆，由图3-21我们可以看出，开

环传递函数在S右半平面有一个极点，因此G（jω）需要沿逆时针方向包围-1点一圈。

可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，

需要设计控制器来镇定系统。

1.2.2频率响应设计及仿真

直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：

考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：

（23）

设计控制器G（s），使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50°

，

增益裕量等于或大于10分贝。

根据要求，控制器设计如下：

1）选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode图，可以看出，给系统

增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：

（24）

已校正系统具有开环传递函数Gc（s）G（s）。

设

（25）

式中

K=Keα。

2）根据稳态误差要求计算增益K，

（26）

可以得到：

K=98

于是有：

（27）

3）在MATLAB中画出G（s）的Bode图：

num1=[2.6705];

den1=[0.01021250-0.26705];

bode（num1,den1）

可以获得图5的结果：

图5加入增益后的Bode图

输入：

nyquist（num1,den1）可以获得图6：

图6增加增益后的Nyquist图

4）出，系统的相位裕量为0°

，根据设计要求，系统的相位裕量为50°

，因此需要增加的相位裕量为50°

，增加超前校正装置会改变Bode的幅曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的G1（jω）的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量φm近似等于55°

。

因为

Sinβ=1-α/1+α

计算可以得到：

α=0.0994

5）确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率ω=1/T和ω＝1/（αT），可以看出，最大相位超前角φm发生在两个转角频率的几何中m心上，即ω，在ω点上，由于包含（Ts+1）/（αTs+1）项，所以幅值的变化为：

（28）

于是G1（jω）=-10.0261分贝对应于ω=28.5rad/s，我们选择此频率作为新的增益交界频率ωc，这一频率相应于ω,即:

1/T=8.87351/Tα=90.3965

6）于是校正装置确定为：

Gc（s）=Kcα（Ts+1）/（αTs+1）=Kc（s+8.8735）/（s+90.3965）（29）

Kc=985.9155

7）增加校正后系统的根轨迹和奈魁斯特图如下：

（进入MATLABSimulink实时控制工具箱“GoogolEducationProducts”打

开“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\

FrequencyResponseExperiments”中的“FrequencyResponseControlMFiles”）

num=98*[0.02725];

den=[0.01021250-0.26705];

nyquist（num,den）

za=[z;

-8.9854];

pa=[p;

-90.3965];

k=985.9155;

sys=zpk（za,pa,k）;

figure

bode（sys）

nyquist（sys）

sysc=sys/（1+sys）;

t=0:

0.005:

5;

impulse（sysc,t）

可以得到，如图7Bode图和图8Nyquist图所示：

图7Bode图

图8Nyquistl图

图9利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图（一阶控制器）

从Bode图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯

特图中可以看出，曲线绕-1点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。

利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图可以看出，系统在遇到干扰后，在1秒内可以达到新的平衡，但是超调

量比较大。

8）打开“L1dofFreq.mdl”，在MATLABSimulink下对系统进行仿真（本

例和以下的例子都不再仔细说明每步的操作方法，详细的步骤请参见前一章

内容）.

FrequencyResponseExperiments”中的“FrequencyResponseControl

Simulink”）

图10系统仿真图

图11环节参数设计图

可以获得图12的结果：

图12增加超前校正后的单位阶跃响应图

9）可以看出，系统存在一定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又

可以得到良好的静态精度，我们采用滞后－超前校正（通过应用滞后－超前

校正，低频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量），

设滞后－超前控制器为：

（30）

10）设计滞后-超前控制器。

设控制器为：

（31）

可以得到静态误差系数:

比超前校正提高了很多，因为－2零点和－0.1988极点比较接近，所以对相

角裕度影响等不是很大，滞后-超前校正后的系统Bode图和奈魁斯特图如下

所示：

-8.9854;

-2];

-90.3965;

-0.1988];

可以获得图13和图14所示的结果：

图13增加一阶控制器后系统Bode图

图14增加一阶控制器后的Nyquist图

利用频率响应方法校正后的Bode图和Nyquist图（二阶控制器）

进入MATLABSimulink实时控制工具箱“GoogolEducationProducts”打

Simulink”）设“Controller2”图15所示：

图15系统参数设置

可获得图15的结果：

图16增加二阶控制器后的单位阶跃响应图

可以很明显的看出，系统的稳态误差较少。

结论：

（1）两种校正方法的比较：

直线一级倒立摆根轨迹控制实验中，闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益，从设计的观点来看，对于有些系统，通过简单的增益调节就可以将闭环极点移到需要的位置，如果只调节增益不能满足所需要的性能时，就需要设计校正器，常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。

直线一级倒立摆频率响应控制实验中，系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。

在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。

频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；

一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷大时，向量Ge（jω）G（jω）的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。

（2）我对这次课程设的感想：

程设计通过对倒立摆系统的仿真与稳摆的校正，我对MATLAB的Simulink工具更加熟悉了，也理解了经典控制理论在自动控制分析中发挥的作用，验证所学的控制理论和算法，对所学课程加深了理解。

（3）我的建议：

能否多搞些倒立摆让我们每一个人都能亲身体会的搞一下。

参考资料：

[1]涂植英，陈今润．自动控制原理．重庆：

重庆大学出版社，2005

[2]刘卫国．MATLAB程序设计教程．北京：

中国水利水电出版社，2005

[3]固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0,2005

[4]固高科技有限公司.倒立摆与自动控制原理实验,2005