倒立摆与自动控制原理课程设计文档格式.docx

1、分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （1）即： （2）把这个等式代入式（3-1）中，就得到系统的第一个运动方程： （3）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： （4） （5）力矩平衡方程如下： （6）此方程中力矩的方向，由于 = +,cos = -cos,sin = -sin ，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： （7）设 = +（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧d 2度）相比很小，即1，则可以进行近似处理： （8）用，来代表被控对象的输

2、入力F，线性化后两个运动方程如下： （9） （10）推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到： （11）或 （12）如果令v = x，则有： （13）把上式代入方程组的第二个方程，得到： （14）整理后得到传递函数： （15）其中 （16）设系统状态空间方程为： （19）由（9）方程为： （17）对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到： （18）化简得到：实际系统的模型参数如下:M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034

3、 kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数： （20）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： （21）可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。1.2 直线一级倒立摆频率响应控制实验系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅

4、表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当从0变化到无穷大时，向量 G（j） G（j）的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。 1.2.1 频率响应分析原系统的开环传递函数为： （22）其中输入为小车的加速度V（s），输出为摆杆的角度（s）。在MATLAB下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。绘制Bode图的命令为：Bode（sys） 绘制奈魁斯特图的命令为：Nyquist（sys） 在MATLAB中键入以下命令：clear;num=0.02725;den=0.0102125 0 -0

5、.2z=roots（num）;p=roots（den）;subplot（2,1,1） bode（num,den） subplot（2,1,2） nyquist（num,den）得到如图4示的结果：z = Empty matrix: 0-by-1 p = 5.1136 -5.1136 图4 原系统Bodel图和Nyquist图可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s 平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当从-到变+化时，开环传递函数G（j）沿逆时针方向包围-1点 p圈，其中 p为开环传递函数在右半S平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由图 3-21我们

6、可以看出，开环传递函数在 S 右半平面有一个极点，因此G（j）需要沿逆时针方向包围-1 点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来镇定系统。1.2.2 频率响应设计及仿真直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为： （23）设计控制器G （s），使得系统的静态位置误差常数为 10，相位裕量为50 ，增益裕量等于或大于10分贝。 根据要求，控制器设计如下：1） 选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode图，可以看出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为： （24）已校正系统具有

7、开环传递函数Gc（s）G（s）。设 （25）式中K=Ke。2） 根据稳态误差要求计算增益K， （26）可以得到： K=98于是有： （27）3） 在MATLAB中画出G （s）的Bode图：num1=2.6705;den1=0.0102125 0 -0.26705;bode（num1,den1）可以获得图5的结果： 图5 加入增益后的Bode图输入：nyquist（num1,den1） 可以获得图6： 图6 增加增益后的Nyquist图4）出，系统的相位裕量为0 ，根据设计要求，系统的相位裕量为50，因此需要增加的相位裕量为50 ，增加超前校正装置会改变 Bode 的幅曲线，这时增益交界频率会

8、向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的G1 （j）的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量m近似等于55。因为 Sin=1-/1+计算可以得到： =0.09945） 确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率 =1/T和1/（T），可以看出，最大相位超前角m 发生在两个转角频率的几何中m心上，即，在点上，由于包含（Ts+1）/（Ts+1）项，所以幅值的变化为： （28）于是 G1 （j） = -10.0261分贝对应于 = 28.5rad/s，我们选择此频率作为新的 增益交界频率c，这一频率相应于,即: 1/T=8.8735 1/T=90.39656） 于是校正装置确定为

9、： Gc（s）=Kc（Ts+1）/（Ts+1）=Kc（s+8.8735）/（s+90.3965） （29） Kc=985.9155 7） 增加校正后系统的根轨迹和奈魁斯特图如下：（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Frequency Response Experiments”中的“Frequency Response Control M Files”）num=98*0.02725;

10、den=0.0102125 0 -0.26705;nyquist（num,den） za=z;-8.9854;pa=p;-90.3965;k=985.9155;sys=zpk（za,pa,k）;figure bode（sys） nyquist（sys） sysc=sys/（1+sys）;t=0:0.005:5;impulse（sysc,t）可以得到，如图7Bode图和图8Nyquist图所示： 图7 Bode图 图8 Nyquistl图 图9利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图（一阶控制器）从 Bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯特图中可以看出，曲线绕-1点

11、逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图可以看出，系统在遇到干扰后，在1秒内可以达到新的平衡，但是超调量比较大。8） 打开“L1dofFreq.mdl”，在 MATLAB Simulink 下对系统进行仿真（本例和以下的例子都不再仔细说明每步的操作方法，详细的步骤请参见前一章内容）. Frequency Response Experiments ”中的“ Frequency Response Control Simulink”） 图10 系统仿真图 图11 环节参数设计图可以获得图12的结果： 图12 增加超前校正后的单位阶跃响应图9） 可以看出，系统存在一

12、定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又可以得到良好的静态精度，我们采用滞后超前校正（通过应用滞后超前校正，低频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量），设滞后超前控制器为： （30） 10）设计滞后-超前控制器。设控制器为： （31）可以得到静态误差系数:比超前校正提高了很多，因为2 零点和0.1988 极点比较接近，所以对相角裕度影响等不是很大，滞后-超前校正后的系统Bode图和奈魁斯特图如下所示：-8.9854;-2;-90.3965;-0.1988;可以获得图13和图14所示的结果： 图13增加一阶控制器后系统 Bode图 图14增加一阶控制器后的 Nyquist图

13、利用频率响应方法校正后的 Bode 图和 Nyquist图（二阶控制器）进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打Simulink”） 设“Controller2”图15所示： 图15 系统参数设置可获得图15的结果： 图16 增加二阶控制器后的单位阶跃响应图可以很明显的看出，系统的稳态误差较少。结论：（1）两种校正方法的比较：直线一级倒立摆根轨迹控制实验中，闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益，从设计的观点来看，对于有些系统，通过简单的增益调节就可

14、以将闭环极点移到需要的位置，如果只调节增益不能满足所需要的性能时，就需要设计校正器，常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。 直线一级倒立摆频率响应控制实验中，系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。 频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当从0变化到无穷大时，向量 Ge（j） G（j）的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环

15、频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。（2）我对这次课程设的感想：程设计通过对倒立摆系统的仿真与稳摆的校正，我对MATLAB的Simulink工具更加熟悉了，也理解了经典控制理论在自动控制分析中发挥的作用，验证所学的控制理论和算法，对所学课程加深了理解。（3）我的建议：能否多搞些倒立摆让我们每一个人都能亲身体会的搞一下。参考资料：1 涂植英，陈今润自动控制原理重庆：重庆大学出版社，20052 刘卫国MATLAB程序设计教程北京：中国水利水电出版社，20053 固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0,20054 固高科技有限公司. 倒立摆与自动控制原理实验,2005