河北省唐山市高考数学一模试卷理科.doc
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2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．
1．（5分）若复数z满足（3+4i）z=25，则复平面内表示z的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x＞0}，，则（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
3．（5分）若函数，则f（f
（2））=（ ）
A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2
4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+2
5．（5分）在△ABC中，∠B=90°，，，则λ=（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．4
6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
7．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF=（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（ ）
A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．
9．（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（ ）
A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.05
10．（5分）已知ω＞0，将函数f（x）=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
11．（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知a＞b＞0，ab=ba，有如下四个结论：
①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．
则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是 ．
14．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且，若a4=32，则a1= ．
15．（5分）已知抛物线C：
y2=2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|=4，则p= ．
16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是 ．
三、解答题：
本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．
（1）若，，求sinA；
（2）若λ=4，AB边上的高为，求C．
18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出xi（万元）和销售额yi（万元）数据如下：
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告费支出xi
1
2
4
6
11
13
19
销售额yi
19
32
40
44
52
53
54
（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：
，
经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．
参数数据及公式：
，，，ln2≈0.7．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．
（1）求证：
MN∥平面BB1C1C；
（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．
21．（12分）已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．
（1）证明：
函数f（x）在（﹣，）上单调递增；
（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．
（1）求φ的取值范围；
（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．
23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．
（1）求的最小值；
（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？
并说明理由．
2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．
1．（5分）（2017•唐山一模）若复数z满足（3+4i）z=25，则复平面内表示z的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：
（3+4i）z=25，∴（3﹣4i）（3+4i）z=25（3﹣4i），∴z=3﹣4i．
则复平面内表示z的点（3，﹣4）位于第四象限．
故选：
D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）（2017•唐山一模）已知集合A={x|x2﹣x＞0}，，则（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
【分析】先分别求出集合A和B，由此得到A∪B=R．
【解答】解：
∵集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，
，
∴A∩B={x|﹣或1＜x＜}，
A∪B=R．
故选：
B．
【点评】本题考查并集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用．
3．（5分）（2017•唐山一模）若函数，则f（f
（2））=（ ）
A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2
【分析】由函数的解析式先求出f
（2）的值，再求出f（f
（2））的值．
【解答】解：
由题意知，，
则f
（2）=5﹣4=1，f
（1）=e0=1，
所以f（f
（2））=1，
故选A．
【点评】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于基础题．
4．（5分）（2017•唐山一模）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+2
【分析】由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，由图中数据，可得体积．
【解答】解：
由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+=π+2，
故选A．
【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．
5．（5分）（2017•唐山一模）在△ABC中，∠B=90°，，，则λ=（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．4
【分析】根据平面向量的三角形法则求出，再由⊥得出•=0，列出方程求出λ的值．
【解答】解：
△ABC中，，，
∴=﹣=（2，λ+2），
又∠B=90°，∴⊥，
∴•=0，
即2﹣2（λ+2）=0，
解得λ=﹣1．
故选：
A．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目．
6．（5分）（2017•唐山一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：
设等差数列{an}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，
解得a1=﹣4，d=2．
则S5=5×（﹣4）+×2=0，
故选：
B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）（2017•唐山一模）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣2），代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案．
【解答】解：
由双曲线，
可得a2=1，b2=3，故c==2，
∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y=±x，
不妨设BF的方程为y=（x﹣2），
代入方程y=﹣x，解得：
B（1，﹣）．
∴S△AFB=|AF|•|yB|=•1•=．
故选：
B．
【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．
8．（5分）（2017•唐山一模）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（ ）
A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．
【分析】在（x﹣a）7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论．
【解答】解：
（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）rarC7rx7﹣r，
令7﹣r=4得r=3，
∴展开式中x4项的系数（﹣1）3a3C73=﹣35a3=﹣280，
∴a=2，
∴dx=lnx=1．
故选：
C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，解决指定项的系数问题．牢记定理是前提，准确计算是关键．
9．（5分）（2017•唐山一模）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（ ）
A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.05
【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行，可得：
|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得m的取值范围，比较各个选项即可得解．
【解答】解：
模拟程序的运行，可得
n=6，a=3
b=2.5，
不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a=2.5，b=2.45，
由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．
可得：
|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，
解得：
0.05＜m≤0.5，
故选：
B．
【点评】本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．
10．（5分）（2017•唐山一模）已知ω＞0，将函数f（x）=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】利用诱导公式化简和同名函数，根据三角函数平移变换规律，建立关系．即可求ω的最小值．
【解答】解：
由函数f（x）=cosωx=sin（ωx）图象向右平移个单位后得到：
sin（），
由题意可得：
，（k∈Z）
解得：
，
∵ω＞0，
∴当k=0时，ω的值最小值为．
故选A
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
11．（5分）（2017•唐山一模）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用
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