江苏省盐城市2016-2017学年高一下期末数学试卷.doc
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2016-2017学年江苏省盐城市高一下期末数学试卷
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.函数的最小正周期为 .
2.已知直线l过定点(1,0),且倾斜角为,则直线l的一般式方程为 .
3.若,则cos2α= .
4.在Rt△ABC中,,AB=4,AC=3,则= .
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若首项a1=﹣3,公差d=2,Sk=5,则正整数k= .
6.设a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,则下列命题正确的是 .(填写所有正确命题的序号)
①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥b,a⊂α,b⊥β,则α⊥β;
③若α∥β,a⊥α,则a⊥β;④若α⊥β,a⊥b,a⊥α,则b⊥β.
7.已知正项等比数列{an},且a1a5+2a3a5+a3a7=25,则a3+a5= .
8.若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为 .
9.已知向量是与向量=(﹣3,4)同向的单位向量,则向量的坐标是 .
10.函数y=3cos(2x+φ)是奇函数,则|φ|的最小值是 .
11.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线2mx﹣y﹣4m+1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
12.已知数列{an}满足(k∈N*),若a1=1,则S20= .
13.如图,点P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的一个动点,设=x+y,则x+y的最大值为 .
14.在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2=b2+bc,则的取值范围是 .
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知如图:
平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
(1)求证:
GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4,求四棱锥F﹣ABCD的体积.
16.已知向量和,其中,,k∈R.
(1)当k为何值时,有∥;
(2)若向量与的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,点P是圆O:
x2+y2=1与x轴正半轴的交点,半径OA在x轴的上方,现将半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB.设∠POA=x(0<x<π),.
(1)若,求点B的坐标;
(2)求函数f(x)的最小值,并求此时x的值.
18.如图,OA、OB是两条公路(近似看成两条直线),,在∠AOB内有一纪念塔P(大小忽略不计),已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE,PD=6千米,PE=12千米.现经过纪念塔P修建一条直线型小路,与两条公路OA、OB分别交于点M、N.
(1)求纪念塔P到两条公路交点O处的距离;
(2)若纪念塔P为小路MN的中点,求小路MN的长.
19.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,S3=12.
(1)求a24与S7的值;
(2)已知m、n均为正整数,满足am=Sn.试求所有n的值构成的集合.
20.如图,已知动直线l过点,且与圆O:
x2+y2=1交于A、B两点.
(1)若直线l的斜率为,求△OAB的面积;
(2)若直线l的斜率为0,点C是圆O上任意一点,求CA2+CB2的取值范围;
(3)是否存在一个定点Q(不同于点P),对于任意不与y轴重合的直线l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2016-2017学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
1. π 2. x﹣y﹣=0 3. 4. 9
5. 5 6. ②③ 7. 5
8.12π 9. 10. 11. (x﹣1)2+y2=2
12.已知数列{an}满足(k∈N*),若a1=1,则S20= 2056 .
【解答】解:
数列{an}满足(k∈N*),a1=1,
可得a2=a1+1=2,a3=2a2﹣2=2,a4=a3+1=3,a5=2a4﹣2=4,…,
可得数列{an}的奇数项成首项为1,公比为2的等比数列,
其偶数项比其前一项多1,
则S20=(1+2+…+29)+(2+3+…+29+1)=+10+
=211+8=2056.
故答案为:
2056.
13.如图,点P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的一个动点,设=x+y,则x+y的最大值为 2 .
【解答】解:
六边形边长为1,把向量和向量,沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解.
设AD方向为x轴,垂直于AD方向为y轴如图:
那么==(﹣,),
=(﹣,﹣1﹣),
=(﹣x﹣y,x﹣(1+)y),
所以,当的横坐标最小的时候,x+y最大.
那么,当P与D重合时,满足这一条件.
此时AP=2,x+y=2;最大值为2;
故答案为:
2.
14.在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2=b2+bc,则的取值范围是 (,2) .
【解答】解:
∵△ABC中,a2=b2+bc,
又∵由余弦定理可得:
a2=b2+c2﹣2bccosA,
∴b2+bc=b2+c2﹣2bccosA,整理可得:
c=b(1+2cosA),
∴a2=b2+b2(1+2cosA)=b2(2+2cosA),
∴=,
∵在锐角△ABC中,A∈(0,),cosA∈(0,1),可得:
2+2cosA∈(2,4),
∴=∈(,2).
故答案为:
(,2).
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知如图:
平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
(1)求证:
GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4,求四棱锥F﹣ABCD的体积.
【解答】
(1)证明:
∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC且EF=AD=BC
∴四边形EFBC是平行四边形,∴H为FC的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵G是FD的中点
∴HG∥CD﹣﹣﹣
∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE
∴GH∥平面CDE﹣﹣﹣﹣﹣
(2)解:
∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD
且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵BC=6,∴FA=6
又∵CD=2,DB=4,CD2+DB2=BC2
∴BD⊥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴SABCD=CD×BD=8
∴VF﹣ABCD=×SABCD×FA=××6=16﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
16.已知向量和,其中,,k∈R.
(1)当k为何值时,有∥;
(2)若向量与的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
【解答】解:
(1)由,设,
所以,即,
又,,得与不共线,
所以t﹣k=2+t=0,解得k=﹣2,
(2)因向量与的夹角为钝角,
所以,
又,,得,
所以,即k<8,
又向量与不共线,由
(1)知k≠﹣2,
所以k<8且k≠﹣2.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,点P是圆O:
x2+y2=1与x轴正半轴的交点,半径OA在x轴的上方,现将半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB.设∠POA=x(0<x<π),.
(1)若,求点B的坐标;
(2)求函数f(x)的最小值,并求此时x的值.
【解答】解:
(1)由题意,因点P是圆O:
x2+y2=1与x轴正半轴的交点,又,
且半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB,
∴.
由三角函数的定义,得,,
解得,.
∴.
(2)依题意,,,,
由,
∴,
∴,
∵0<x<π,
则,
∴当时,即,
函数f(x)取最小值为.
18.如图,OA、OB是两条公路(近似看成两条直线),,在∠AOB内有一纪念塔P(大小忽略不计),已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE,PD=6千米,PE=12千米.现经过纪念塔P修建一条直线型小路,与两条公路OA、OB分别交于点M、N.
(1)求纪念塔P到两条公路交点O处的距离;
(2)若纪念塔P为小路MN的中点,求小路MN的长.
【解答】解:
(1)设∠POA=α,则,
∵PD=6,PE=12,
∴,
∴,化简得,
又sin2α+cos2α=1,∴,
∴.
∴纪念塔P到两条公路交点O处的距离为4千米.
(2)设∠PMO=θ,则∠PNO=﹣θ,
∵P为MN的中点,即PM=PN,
∴,
即,解得,
∴.
∴小路MN的长为24千米.
19.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,S3=12.
(1)求a24与S7的值;
(2)已知m、n均为正整数,满足am=Sn.试求所有n的值构成的集合.
【解答】解:
(1)因数列{an}是等差数列,
所以S3=3a2=12,所以a2=4,…
又a1=1,所以公差d=3,
所以an=1+3(n﹣1)=3n﹣2,,…
所以a24=70,.…
(2)由
(1)知am=3m﹣2,
由am=Sn,得,…
所以,…
因n2+n=n(n+1)为正偶数,为正整数,…
所以只需为整数即可,即3整除n﹣1,…
所以A={n|n=3k+1,k∈N}.…
20.如图,已知动直线l过点,且与圆O:
x2+y2=1交于A、B两点.
(1)若直线l的斜率为,求△OAB的面积;
(2)若直线l的斜率为0,点C是圆O上任意一点,求CA2+CB2的取值范围;
(3)是否存在一个定点Q(不同于点P),对于任意不与y轴重合的直线l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)因为直线l的斜率为,所以直线l,
则点O到直线l的距离,…
所以弦AB的长度,
所以.…
(2)因为直线l的斜率为0,所以可知、,…
设点C(x,y),则x2+y2=1,
又,…
所以CA2+CB2=4﹣2y,又y∈[﹣1,1],
所以CA2+CB2的取值范围是[2,6].…
(3)法一:
若存在,则根据对称性可知,定点Q在y轴上,设Q(0,t)、又设A(x1,y1)、B(x2,y2),
因直线l不与y轴重合,设直线l,…
代入圆O得,
所以(*)…
若PQ平分∠AQB,则根据角平分线的定义,AQ与BQ的斜率互为相反数
有,又,,
化简可得,…
代入(*)式得,因为直线l任意,故,
即t=2,即Q(0,2)…
解法二:
若存在,则根据对称性可知,定点Q在y轴上,设Q(0,t)、又设A(x1,y1)、B(x2,y2),
因直线l不与y轴重合,设直线l,…
代入圆O得,
所以(*)…
若PQ平分∠AQB,则根据角平分线的几何意义,点A到y轴的距离d1,点B到y轴的距离d2满足,即,
化简可得,…
代入(*)式得,因为直线l任意,故,
即t=2,即Q(0,2)…
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