江苏省常州市2018届高三第一学期期末检测数学试卷.doc

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江苏省常州市2018届高三第一学期期末检测

数学Ⅰ试题

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．若集合，则集合▲．

（第5题）

结束

开始

输出

2．命题“”是▲命题（选填“真”或“假”）．

3．若复数满足，则▲．

4．若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，

则该组样本数据的方差为▲．

5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是▲．

6．函数的定义域记作集合．随机地投掷一枚质地均匀的

正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数），记骰子

向上的点数为，则事件“”的概率为▲．

7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为▲．

8．各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为▲．

9．在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率的取值范围是▲．

1

-1

（第12题）

10．已知实数满足则的取值范围是▲．

11．已知函数，其中．若过原点且斜率为

的直线与曲线相切，则的值为▲．

12．如图，在平面直角坐标系中，函数

的图象与轴的交点满足，则▲．

13．在中，，为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为▲．

14．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知中，分别为三个内角的对边，．

（1）求角；

（2）若，求的值．

16．（本小题满分14分）

（第16题）

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点是棱上异于P，C的一点．

（1）求证：

；

（2）过点和的平面截四棱锥得到截面（点在棱上），求证：

．

17．（本小题满分14分）

已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O．点光源从M发出，小明在地面上的影子记作．

（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；

（2）若米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段走到，，且米．秒时，小明在地面上的影子长度记为（单位：

米），求的表达式与最小值．

（第17题）

18．（本小题满分16分）

x

y

（第18题）

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于两点（在第三象限），与椭圆的右准线交于点．已知，且．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，求椭圆的标准方程．

19．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数），．数列满足．

（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；

（2）若无穷等比数列满足：

对任意的，数列中总存在两个不同的项，（），使得，求的公比．

20．（本小题满分16分）

已知函数，其中为常数．

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若，设函数在上的极值点为，求证：

．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（选修4—1）

A．选修4—1：

几何证明选讲

在中，N是边AC上一点，且，AB与的外接圆相切，求的值．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵不存在逆矩阵，求：

（1）实数a的值；

（2）矩阵的特征向量．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．

D．选修4—5：

不等式选讲

已知，求证：

．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：

若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；

若这两条棱所在的直线平行，则；

若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．

（1）求的值；

（2）求随机变量的分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）

记（且）的展开式中含项的系数为，含项的系数为．

（1）求；

（2）若，对成立，求实数的值；

（3）对

（2）中的实数，用数学归纳法证明：

对任意且，都成立．

数学Ⅰ试题参考答案及评分标准

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．2．真3．14．25．76．7．3

8．9．10．11．12．13．14．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：

（1）由正弦定理得，中，，所以，所以，，，所以；

（2）因为，由正弦定理得，

所以，．

16．

（1）证明：

，，所以，记交于点，平行四边形对角线互相平分，则为的中点，又中，，所以，

又，，所以，又，所以；

（2）四边形是平行四边形，所以，又，，所以，

又，，所以，

又，所以．

17．解：

（1）由题意，，，所以，

小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为；

（2）经过秒，小明走到了处，身影为，由

（1）知，所以，

化简得，，当时，的最小值为，

答：

，当（秒）时，的最小值为（米）．

18．解：

（1）由题意，消去y得，解得，

所以，，，所以；

（2）由

（1），右准线方程为，

直线的方程为，所以，

，，

所以，，所以，

椭圆的标准方程为．

19．解：

（1）方法一：

因为①，

所以②，

由②-①得，，

即，又，

则，即．

在中令得，，即．

综上，对任意，都有，

故数列是以2为公差的等差数列．

又，则．

方法二：

因为，所以，又，则数列是以为首项，为公差的等差数列，

因此，即．

当时，，又也符合上式，

故，

故对任意，都有，即数列是以2为公差的等差数列．

（2）令，则数列是递减数列，所以．

考察函数，因为，所以在上递增．因此，从而．

因为对任意的，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显．

若，当时，有，不符合题意，舍去；

若，当时，有，不符合题意，舍去；故．

20．解：

（1）当时，，定义域为．

，令，得．

＋

0

－

↗

极大值

↘

∴当时，的极大值为，无极小值．

（2），由题意对恒成立．

∵，∴，

∴对恒成立．

∴对恒成立．

令，，则，

①若，即，则对恒成立，

∴在上单调递减，

则，∴，∴与矛盾，舍去；

②若，即，令，得，

当时，，∴单调递减，

当时，，∴单调递增，

∴当时，，

∴．综上．

（3）当时，，．

令，，

则，令，得．

①当时，，∴单调递减，，

∴恒成立，∴单调递减，且，

②当时，，∴单调递增，

其中，

又，

∴存在唯一，使得，∴，

当时，，∴单调递增，

当时，，∴单调递减，且，

由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，

∴当时，取极大值．

∵，∴，

∴，

又，∴，∴．

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．

A．选修4—1：

几何证明选讲

解：

记外接圆为圆O，AB、AC分别是圆O的切线和割线，所以，

又，所以与相似，所以，所以

，．

B．选修4—2：

矩阵与变换

（2），即，所以，解得

时，，，属于的一个特征向量为；

时，，，属于的一个特征向量为．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

解：

曲线，直线，圆心到直线的距离为，所以弦长．

D．选修4—5：

不等式选讲

证明：

，不妨设，则，，由排序不等式得

，所以．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．解：

根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到，为等腰直角三角形．的可能取值为：

，共种情况，其中：

时，有2种；时，有种；时，有种；

（1）；

（2），．

再根据

（1）的结论，随机变量的分布列如下表：

0

根据上表，．

23．解：

（1）．

（2），，，

则解得．

（3）①当时，由

（2）知等式成立；

②假设时，等式成立，即；

当时，由

知，

所以，

又，等式也成立；

综上可得，对任意且，都有成立．

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