汕头市2018届普通高中毕业班教学质量监测(理数).doc
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汕头市2018届普通高中毕业班教学质量监测
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务心用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上.
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1、已知集合，则
....
2、已知是复数的共轭复数，若，则复数对应的点位于
.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限
3、若两个非零向量满足，，则的夹角是
....
4、记为等差数列的前项和，，则的值为
....
5、执行右图的程序框图，如果输入的，则输出的
....
6、已知命题关于的方程没有实根；命题.若“”和“”都是假命题，则实数的取值范围是
....
7、某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则他获奖的概率为
....
8、将偶函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则在上的最小值是
....
9、某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各个三角形
面中，最大面积为
....
10、已知圆锥的母线长为，它的底面圆周和顶点都在一个表面积为的球面上，则该圆锥的体积为
....
11、已知函数，则不等式的解集为
....
12、已知函数有两个零点，则实数的取值范围是
....
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、已知实数满足，则目标函数的最大值为.
14、展开式中，含项的系数是.（用数字填写答案）
15、数列中，，，其中满足：
对于任意的，均有成等差.数列的前20项和.
16、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之
为鳖臑，在鳖臑中，，且有，
，，点是上的一个动点，则三角
形的面积的最小值为.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
的内角的对边分别为，已知，.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
18、（本小题满分12分）
某大型企业为鼓励员工多利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量（单位：
）的数据，其频率分布直方图如右：
将频率视为概率，回答以下问题：
（1）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过的概率；
（2）据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：
（3）
套餐名称
月套餐费（单位：
元）
月套餐流量（单位：
）
20
700
30
1000
流量套餐的规则是：
每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含的流量）需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零.
该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，并支付所有费用.请分别计算两种套餐所需费用的数学期望，并判断该企业订购哪一款套餐更经济？
19、（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，.
（1）求证：
；
（2）设，若直线与平面所成
的角为，求二面角的大小.
20、（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为，左右顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，记直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的方程，并证明：
是定值；
（2）设点是椭圆上另一个异于的点，且满足直线的斜率等于，试探究：
直线是否经过定点？
如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.
21、（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
请考生在第22，23题中任选一题作答.作答时一定要用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）.
22、（本小题满分10分）选修：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线和直线的交点的极坐标；
（2）已知为曲线上的一动点，设直线与曲线的交点为，求面积的最小值.
23、（本小题满分10分）选修：
不等式选讲
已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）求函数的最小值.
数学（理科）参考答案
BBDABCCACBCA
13.14.15.16.
16.作于，于
易证，，
得，
因此
设，则
所以时，
17.
（1）由正弦定理得……1分
，……2分
，……3分
……4分……5分
（2），……6分……7分
……8分
……9分
……10分得到……11分
又，可得.……12分
18.
（1）依题意，，……1分
得……2分
从该企业的员工中随机抽取3人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量不超过900M的概率为，……3分
至多1人可分为恰有一人和0人手机月流量不超过900M，
设事件A为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M”，……4分
则……5分
（2）若该企业选择A套餐，设一个员工的所需费用为，则可能为……6分
的分布列为
X
20
30
40
P
……7分
……8分
若该企业选择B套餐，设一个员工的所需费用为，则可能为……9分
的分布列为
Y
30
40
P
……10分
……11分
订购A套餐更经济.……12分
第19题图
x
z
y
19.
（1）四边形是菱形……1分
，且
平面……2分
……3分
，是的中点，……4分
又，平面……5分
（2）（法一）
直线与平面的所成角等于直线与平面的所成角
平面
直线与平面的所成角为，……6分即
不妨设菱形的边长为2，则在等边三角形中，
在直角三角形中，……7分
以为原点建立空间直角坐标系，则……8分
设平面的一个法向量为
则得……9分
而平面的一个法向量为……10分
……11分
二面角的大小为.……12分
（法二）
不妨设菱形的边长为2，则在等边三角形中，
设
以为原点建立空间直角坐标系，则……6分
平面的法向量为
依题意有，，……7分
得到……8分因此，
设平面的一个法向量为
则得……9分
而平面的一个法向量为……10分
……11分
二面角的大小为.……12分
20.
（1）依题意有，……1分解得……2分
椭圆的方程为，……3分，设
则……4分……5分
（2）（法一），，……6分即
设的方程为，，
……7分
则，……8分
……9分
得
……10分
化简得，或……11分
即的方程为或，
因为经过右顶点，舍去；所以直线经过定点……12分
（法二），，……6分即
当轴时，直线方程为……7分
的斜率存在时，设的方程为，，
，……8分
则，
……9分
得……10分
化简得,或……11分
即的方程为或，
因为经过右顶点，舍去；所以直线经过定点……12分
（法三）设的方程为
，……6分
，……7分得，
设的方程为
，
，得，……8分
，……9分
……10分
直线的方程为……11分
即
所以直线经过定点.……12分
21
（1）……1分
时，，在上递增……2分
时，由得，……3分
，，在上递减；，，在上递增……4分
（2）变形为
令,
令，可得……5分
令，……6分
时，，在上单调递增……7分
的值域是……8分
当时，没有实根，，……9分
在上单调递增,，符合题意.……10分
当时，有唯一实根，时，，……11分
在上递减，，不符题意.……12分
综上，的取值范围是.
22
（1）曲线转化为直角坐标：
，，……1分
即
直线转化为直角坐标：
，即……2分
联立得到曲线和直线的交点，……3分……4分
它们的极坐标为.（注：
也可以）……5分
（2）由
（1）得，……6分
因此，的面积取得最小时也就是到直线的距离最小的时候
设
则到直线的距离……7分……8分
当时，取得最小值……9分
因此的面积的最小值为……10分
23
（1）当时,……1分
时，，得，即有……2分
时，，得，即有……3分
时，，得，即有……4分
综上，不等式的解集为R.……5分
（2）……6分
……7分
……8分
……9分
当且仅当且时取“=”
函数的最小值为……10分
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