新人教版高中数学必修4知识点总结经典.doc
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学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。
——苏步青
新课标高中数学必修4知识点详细总结
2、角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.
第一象限角的集合为第二象限角的集合为
第三象限角的集合为第四象限角的集合为
区域角怎么表示:
终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角,确定所在象限的方法:
先把各象限均分等份,再从轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角.
6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为,则角的弧度数的绝对值是.
7、弧度制与角度制的换算公式:
,,.
8、若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则,,.
9、三角函数概念:
(一)设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即;
(2)叫做的余弦,记做,即;(3)叫做的正切,记做,即。
(二)设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是,则,,.
Pv
x
y
A
O
M
T
10、三角函数在各象限的符号:
第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
Pv
x
y
A
O
M
T
11、三角函数线:
,,.
三角函数线作用:
12、同角三角函数的基本关系式:
;.
13、三角函数的诱导公式:
,,.
,,.
,,.
,,.
口诀:
函数名称不变,符号看象限.(3)和(4)能得到什么结论?
,.,.
口诀:
函数名改变,符号看象限.(5)能得到什么结论?
14、图像变换的两种方式:
(一)函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象(>0是左移;<0是右移);再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
(二)函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度(>0是左移;<0是右移);得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
函数的性质:
①振幅;②周期:
;③频率:
;④相位:
;⑤初相:
.
函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,.
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时,;当
时,.
当时,
;当
时,.
既无最大值也无最小值
周期
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数;在
上是减函数.
在上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
16.三角函数奇偶性规律总结()
函数为奇函数的条件为函数为偶函数的条件为
函数为奇函数的条件为.函数为偶函数的条件为
函数为奇函数的条件为它不可能是偶函数.
17.向量:
既有大小,又有方向的量.数量:
只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:
起点、方向、长度.零向量:
长度为的向量.
单位向量:
长度等于个单位的向量.平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量.
规定:
零向量与任一向量平行.
相等向量:
长度相等且方向相同的向量.相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
18、向量加法:
⑴三角形法则的特点:
首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:
共起点.
⑶三角形不等式:
.
⑷运算性质:
①交换律:
;
②结合律:
;③.
⑸坐标运算:
设,,则.
19、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:
共起点,连终点,方向减向量的终点指向被减向量终点.(见上图)
⑵坐标运算:
设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
20、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.
①;②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.0=⑵运算律:
①;②;③.⑶坐标运算:
设,则.
(4)
21向量共线条件:
(1)向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
(2)共线的坐标表示,设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.
22、平面向量基本定理:
如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底)
小结论:
(1)若、是同一平面内的两个不共线向量,
(2)若、是同一平面内的两个不共线向量,
23、分点坐标公式:
设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,可推出点的坐标是.(会写出向量坐标,会运算。
)
24、平面向量的数量积:
⑴定义:
.
零向量与任一向量的数量积为.
:
在方向上的投影=:
在方向上的投影=
注意:
务必要算对两个非零向量的夹角:
设两个非零向量与,称为向量与的夹角,注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的。
⑵性质:
设和都是非零向量,则①.
②当与同向时,;当与反向时,;
或.③.
⑶运算律:
①;②;③.
⑷坐标运算:
设两个非零向量,,则.
(5)若,则,或.
(6)设,,则.
(7)设、都是非零向量,,,是与的夹角,则.
25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴;⑵;
⑶;⑷;
⑸变形:
();
⑹变形:
().
26、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴.变形:
⑵
变形得到降幂公式:
,.
⑶.
27、,其中.
[2014高考题解析,规范解题步骤]
已知函数,其图象过点(,).
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在[0,]上的最大值和最小值.
解:
(Ⅰ)因为
所以
又函数图像过点所以即
又所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,可知
因为
所以
因此
故所以在上的最大值和最小值分别为和
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