抛物线高三复习专题.doc

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一、抛物线的方程

例1求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（－3，2）；

（2）焦点在直线x－2y－4=0上.

（3）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点

M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值

（4）点M与点F（4,0）的距离比它到直线的距离小1，

求点M的轨迹方程

（5）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交

于两点A、B，线段AB的长为6，求抛物线的方程

（6）一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载

有一宽4米、高6米的大木箱，问能否安全通过？

（7）点、是抛物线上两点，垂直于这条抛物线的

对称轴，且，为坐标原点，，则的值为．

（8）．抛物线的准线方程是，则a的值为（）

A． B．－ C．8 D．－8

（9）．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离

为5，则p的值为（）

A. B.1 C.2 D.4

（10）.已知抛物线方程为，则它的焦点坐标是，准线方程是，若该抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点等于，抛物线上的到焦点的距离是4，则点的坐标是。

（11）.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）

A．B．C．D．0

（12）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于P（x1,y1）、Q（x2,y2）两点，

若x1+x2=6,则︱PQ︱的值为（）

A.10B.8C.5D.6

（13）斜率为2的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相

交于两点，则。

（14）抛物线上的两点到焦点的距离和是5，则线段

的中点到轴的距离是。

（15）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点

（m，－2）到焦点的距离等于4，则m的值为.

16．方程表示的曲线不可能是（）

直线抛物线圆双曲线

二、抛物线的定义

（1）已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（-1,8）,P为抛物线上一点，则

︱PA︱+︱PF︱的最少值是（）

A.16B.6C.12D.9

（2）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（　　）

A． B．

C． D.

（3）P是抛物线y2=4x上的一个动点，又F是抛物线的焦点，A（2,5），则︱PA︱+︱PF︱的最少值是.

（4）已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是（）

A.B.C.D.

（5）抛物线上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是

A、B、C、D、3

（6）抛物线x2=y上的点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐标为

A.（0,0）B.（1,4）C.D.（5,1）

（7）已知抛物线，过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（两点，则y的最小值是　　　　　

8．以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系是（）

相交相切相离 以上三种均有可能

三、抛物线的几何性质

1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在

2.如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（）．

A．5B．6C．7D．9

3.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为．

4.（山东省威海市2008年普通高中毕业年级教学质量检测）

抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（）

A． B． C． D．

四、抛物线和直线的综合应用：

例1斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长

变式1.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，线段AB的长为6，求抛物线的方程

变式2.过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：

以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

例2：

设是一常数，如图，过点Q（2p，0）的直线与抛物线交于相并两点A、B，以线段AB为直径作⊙H（H为圆心），试证抛物线顶点O在⊙H上，并求当⊙H的面积最小时，直线AB的方程。

变式1：

设A、B为抛物线上的点,且（O为原点）,则直线AB必过的定点坐标为__________.

变式2：

如图所示，F为抛物线的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，的最小值为8。

（1）求抛物线的方程；

（2）若 O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B、C两点。

且，证明你的结论。

例3：

已知抛物线的准线与轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若AB的垂直平分线与轴交于E（）。

（1）求的取值范围；

（2）能否是正三角形？

若能，求的值；若不能，请说明理由。

变式1：

已知抛物线过动点M（）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。

（1）求的取值范围；

（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求面积的最大值。

例4.（理）已知抛物线的焦点为F，过焦点F且不平行于轴的动直线交抛物线于两点，抛物线在A,B两点处的切线交于点M，

（1）求证A,M,B三点的横坐标成等差数列

（2）求点M的轨迹

（3）设直线MF交抛物线于C,D两点，求四边形ACBD面积的最小值

（文）设抛物线y2=2px（p>0）被直线y=2x-4截得的弦长AB长为。

（1）求此抛物线的方程；

（2）设直线AB上一点Q，使得A、Q、B三点到抛物线准线的距离成等差数列，

求Q点坐标；

（3）在抛物线上求一点M使M到Q点距离与M到焦点距离之和最小.

导数在解析几何中的应用

例1：

例:

2：

已知过点的直线与抛物线交于两点、。

、分别是该抛物线在、两点处的切线。

、分别是、与直线的交点。

⑴求直线的斜率的取值范围

⑵试比较与的大小，说明理由。

例3过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线交于、两点。

一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点、。

若为线段的中点，求证：

为此抛物线的切线

例4：

已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、．求证：

直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.

例5、已知抛物线的焦点为F，A、B是直线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

（I）证明为定值；

（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

例6：

设抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A、B，点M在抛物线的AB弧上运动，设达到最大值时，点M的坐标为（p，h）

（1）求过点（p，h）的切线方程；

（2）证明：

若与直线AB平行的直线截抛物线y=4-x2的弦为CD，则CD被直线x=p平分。

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