高中数学知识精要 24排列组合和二项式定理教案 新人教A版Word文件下载.docx

高中数学知识精要 24排列组合和二项式定理教案 新人教A版Word文件下载.docx

《高中数学知识精要 24排列组合和二项式定理教案 新人教A版Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学知识精要 24排列组合和二项式定理教案 新人教A版Word文件下载.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

如已知，求n，m的值（答：

m＝n＝2）

（3）排列数、组合数的性质：

①；

②；

从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）

根据组合定义与加法原理得；

在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有.

③；

④

⑤；

⑥.

（4）常用的证明组合等式方法.

裂项求和法.

（利用）n.n!

=（n+1）!

-n!

导数法.

数学归纳法.

倒序求和法.

一般地：

已知等差数列{an}的首项a1，公差为d，a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C=（2a1＋nd）·

2n-1．

递推法（即用递推）如：

构造二项式.如：

证明：

这里构造二项式其中的系数，左边为

，而右边.

更一般地：

3.解排列组合问题的依据是：

分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．

如

（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种（答：

）；

（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种（答：

70）；

（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：

23）；

（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：

12）；

（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：

90）；

（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法（答：

480）；

（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种（答：

9）；

（8）是集合到集合的映射，且

，则不同的映射共有个（答：

7）；

（9）满足的集合A、B、C共有组（答：

）

3.解排列组合问题的方法有：

一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径

（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接（剔除）解法

注：

数量不大时可以逐一排出结果。

如

（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：

300）；

（2）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有_______种（答：

100）；

（3）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个（答：

156）；

（4）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；

语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____（答：

6）；

（5）四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。

①恰有两个空盒的放法有__________种；

②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_________种（答：

84；

96）；

（6）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种（答：

31）

（7）在平面直角坐标系中，由六个点（0,0），（1,2），（2,4），（6,3），（－1,－2），（－2,－1）可以确定三角形的个数为_____（答：

15）。

4.常见的题目类型

（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。

如

（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：

2880）；

（2）某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：

20）；

（3）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____（答：

144）

（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。

如

（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：

24）；

（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。

如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：

42）。

（3）多排问题单排法。

如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____（答：

相等）；

（4）多元问题分类法。

如

（1）某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的实验方案共有_______种（答：

15）；

（2）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；

另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种（答：

36）；

（3）9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有____________种（答：

（5）有序问题组合法。

如

（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有种不同的放法（答：

（2）百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_____种（答：

360）；

（3）学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种（答：

（4）设集合，对任意，有，则映射的个数是_____（答：

（5）如果一个三位正整数形如“”满足，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____（答：

240）；

（6）离心率等于（其中且）的不同形状的的双曲线的个数为_____（答：

26）。

（6）选取问题先选后排法。

如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：

576）。

（7）至多至少问题间接法。

如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：

596）

提醒：

亦可分类来求.

（8）相同元素分组可采用隔板法。

如

（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？

每人至少两个呢？

（答：

36；

（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？

84）

*小球入筐型*

5个小球放入三个不同的

筐子

有多少放法

每筐至少一个，有多少放法？

小球相同

小球不同

注意：

小球相同还是不同，是至少一个还是随便，多元一次方程的不定正整数（还是非负整数）解的个数（隔板法）.

如的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数.

若为非负数解的x个数，即用中等于，有

，进而转化为求a的正整数解的个数为.

不定方程的解的个数

方程（）的正整数解有个.

方程（）的非负整数解有个.

方程（）满足条件（,）的非负整数解有个.

方程（）满足条件（,）的正整数解有

（9）分组问题：

要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！

如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：

37440）；

（10）“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:

信封信与个信封全部错位的组合数为

.推广:

个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为

提醒:

在求解排列与组合应用问题时，应

（1）把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

（2）通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

（3）分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

（4）列出式子计算和作答

5.二项式定理：

，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；

展开式共有n+1项，其中第r+l项称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项（特定项、常数项、有理项）等有关问题。

二项式定理有两个特殊形式：

在解题时经常用到，且很方便，需熟记。

特别提醒：

项与项数、项的系数与二项式系数、奇数项与奇次项、偶数项与偶次项的区别分别是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。

如在的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为，第ｒ＋１项的系数为；

而的展开式中的系数就是二项式系数；

当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；

审题时要注意区分所求的是项还是第几项？

求的是系数还是二项式系数？

注意展开式的逆用，注意展开式中的项是否去首、少尾；

必须关注n是正整数，r是非负整数（r=0的情形容易忽视），且r≤n。

如

（1）的展开式中常数项是____（答：

14）；

（2）

的展开式中的的系数为______（答：

330）；

（3）数的末尾连续出现零的个数是____（答：

（4）展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有____项（答：

（5）若

的值能被5整除，则的可取值的个数有____个（答：

5）；

（6）若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则的取值范围是（答：

（7）函数

的最大值是_______（答：

1024）.

（8）已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q．求和：

a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C．

解：

a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝a1C＋a1qC＋a1q2C＋…＋a1qnC

＝a1（C＋qC＋q2C＋…＋qnC）＝a1（1＋q）n．

6、二项式系数的性质：

（1）对称性：

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；

（2）增减性与最大值：

当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值。

当n为奇数时，中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值。

如

（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为______（答：

－426）；

（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则＝____（答：

17,18或19）。

（3）二项式系数的和：

如

（1）如果

，则（答：

128）；

（2）化简

7、赋值法：

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数（偶次）项”系数和为，以及“偶数（奇次）项”系数和为。

（4）F（x）=（ax+b）n展开式的各项系数和为f

（1）;

奇数项系数和为；

偶数项的系数和为；

证明组合恒等式或二项展开式系数求和时通常用构造法和赋值法：

构造一个相应的二项展开式，再对该二项展开式进行赋值，或者构造同一问题的不同解法，通过变更问题解决。

如

（1）已知

，则等于_____（答：

，则＋

＝_____（答：

xx）；

（3）设

则_____（答：

）。

8、系数最大项的求法：

系数若就是二项式系数，利用二项式系数的最大值性质来求，否则

设的系数为，那么为最大的必要而不充分的条件是：

且（若比商的话，注意的正负）

如

（1）求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。

系数绝对值最大的项为，系数最大的项为）

（2）二项式的展开式系数最大的项是（）

A.第2n+1项B.第2n+2项

C.第2n项D第2n+1项或2n+2项

若通过系数绝对值来求时，注意系数的正负

9、二项式定理的应用：

二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。

如

（1）（0.998）5精确到0.001近似值为________（答：

0.990）；

（2）被4除所得的余数为_____（答：

0）；

（3）今天是星期一，10045天后是星期_____（答：

二）；

（4）求证：

能被64整除；

（5）求证：

2019-2020年高中数学知识精要3.新课标填空教案新人教A版

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的试题，在高考中题量一直为4题，和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：

其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：

方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。

由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。

二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：

给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。

近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。

三是条件与结论开放型，这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现.因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.在解填空题时要做到：

快——运算要快，力戒小题大作；

稳——变形要稳，不可操之过急；

全——答案要全，力避残缺不齐；

活——解题要活，不要生搬硬套；

细——审题要细，不能粗心大意。

合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。

（一）填空题的常见解法

1、直接法：

直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。

它是解填空题的最基本、最常用的方法。

使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

1.设

其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m=。

∵，

∴

，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。

2.已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是。

，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。

2、特殊化法：

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。

这样可大大地简化推理、论证的过程。

3.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则

解法一：

取特殊值a＝3,b＝4,c＝5,则cosA＝cosC＝0,。

解法二：

取特殊角A＝B＝C＝600cosA＝cosC＝,。

4.如果函数对任意实数都有，那么的大小关系是。

由于，故知的对称轴是。

可取特殊函数，即可求得

∴。

5.已知是直线，是平面，给出下列命题：

①若，则∥；

②若，则∥；

③若内不共线的三点到的距离都相等，则∥；

④若，且∥，∥，则∥；

⑤若为异面直线，，∥，,∥，则∥。

则其中正确的命题是。

（把你认为正确的命题序号都填上）

依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤。

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

6.求值

。

分析：

“求值”二字提供了这样信息：

答案为一定值，于是不妨令，得结果为。

7.已知SA，SB，SC两两所成角均为60°

，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为。

取SA=SB=SC，则在正四面体S－ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角为。

3.数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果。

8.如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是。

根据不等式解集的几何意义，作函数和

函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是。

9.已知向量=，向量=，则|2－|的最大值是

因，故向量2和所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2－|的几何意义即表示弦AB的长，故|2－|的最大值为4。

10.已知实数x、y满足，则的最大值是。

可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。

11.设函数f（x）＝

x3＋

ax2＋2bx＋c．若当x∈（0，1）时，f（x）取得极大值；

x∈（1，2）时，f（x）取得极小值，则

的取值范围是．

f´

（x）＝ 

x2＋ax＋2b，令f´

（x）＝0，由条件知，上述方程应满足：

一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴

，得

，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而

的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线斜率，而P（a，b）在区域内，由图易知kPA∈（

，1）．

4.等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

12.不等式的解集为（4，b），则a=，b=。

设，则原不等式可转化为：

∴a>

0，且2与是方程的两根，由此可得：

13.不论k为何实数，直线与曲线

恒有交点，则实数a的取值范围是。

题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。

14.函数单调递减区间为。

易知∵y与y2有相同的单调区间，而

，∴可得结果为。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

5、构造法：

根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法。

15.椭圆

的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是

构造圆x2＋y2＝5，与椭圆

联立求得交点x02＝

x0∈（－

，

6、分析法：

根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。

16.如右上图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件.时，有（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）。

因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可。

（二）减少填空题失分的检验方法

1、回顾检验

1.满足条件的角的集合为。

错解：

检验：

根据题意，答案中的不满足条件，应改为；

其次，角的取值要用集合表示。

故正确答案为

2、赋值检验。

若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误。

2.已知数列的前n项和为，则通项公式=。

取n=1时，由条件得，但由结论得a1=5。

3、逆代检验。

若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错。

3.方程的解是。

设，则

，根据复数相等的定义得解得

故

若，则原方程成立；

若，则原方程不成立。

故原方程有且只有一解z=-i.

4、估算检验。

当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误。

4.不等式的解是。

两边平行得，即

，解得。

先求定义域得

，原不等式成立；

若

，原不等式不成立，故