高三数学总复习 二次函数教案 理Word文件下载.docx

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4.教师明晰：

在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小．

二、问题情境

已知二次函数f（x）＝x2＋4x＋6．

（1）求它与x轴的交点坐标．

（2）问：

它有没有最值？

若有最大（小）值，最大（小）值是多少？

试求出此时对应的自变量ｘ的值．

（3）画出它的图像．

（4）它的图像有没有对称轴？

如果有，位置如何？

（5）确定函数的单调区间．

1.先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案

（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．

（2）将原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝

（x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2．

∵对任意x∈R，都有（x＋4）2≥0，

∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．

∴函数有最小值是－2，记作ymin＝－2，此时x＝－4．

（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：

表10-1

ｘ

…

－7

－6

－5

－4

－3

－2

－1

ｙ

－

描点，画图．

（4）由上表及图像推测：

二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），与y轴平行．

（5）观察图像知：

二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函数．

2.相关问题

（1）对称轴与图像（抛物线）的交点叫抛物线的顶点，函数f（x）＝x2＋4x＋6的顶点坐标是（－4，－2）．

（2）如果将过点（x1，0）平行于ｙ轴的直线记作x＝x1，则函数f（x）＝x2＋4x＋6的对称轴为x＝－4．

（3）把f（x）＝x2＋4x＋6转化为f（x）＝（x＋4）2－2，采用的是“配方法”．

（4）思考：

怎样证明函数f（x）＝x2＋4x＋6的图像关于直线x＝－4对称？

［提示：

证明f（－4＋h）＝f（－4－h）］

（5）类似地，再对二次函数f（x）＝－x2－4x＋3研讨上面四个方面的问题．

三、建立模型

对任何二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）都可以通过配方法化为y＝a（x＋）2＋的形式，并且有如下性质：

1.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是（－，）．

2.

（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减，在［－，＋∞）上递增，当x＝－时，［f（x）］min＝．

（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上递减，当x＝－时，［f（x）］max＝．

思考：

（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？

（2）函数y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？

四、解释应用

［例　题］

1.求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．

注：

可利用上面的性质直接写出答案．

2.某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数关系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－，（0≤t≤30，t∈N）．求这种商品的日销售额的最大值．

解：

设该商品的日销售额为S，则

∵t∈N，

∴当t＝10或t＝11时，Smax＝808.5．

答：

这种商品日销额的最大值是808.5．

本题是应用题，自变量t∈N，不能使．

［练　习］

1.已知函数f（x）＝x2－2x－3，不计算函数值，试比较f（－2）和f（4），f（－3）和f（3）的大小．

2.二次函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且方程f（x）＝0有两个实根x1，x2，求x1＋x2．

3.已知函数f（x）＝2x2＋（a－1）x＋3在［2，＋∞）上递增，求a的取值范围．

4.抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝ax＋b，（ab≠0）的图像（如下图）只可能是（　　）．

四、拓展延伸

1.如果已知二次函数的图像（抛物线）的顶点坐标为（h，k），那么它的解析表达式如何？

如果已知二次函数的图像（抛物线）与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），它的解析表达式又如何？

2.用函数单调性的定义研究f（x）＝ax2＋bx＋c，（a＜0）的单调性．

3.证明函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像关于直线x＝－对称．

点　评

这篇案例讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像随ａ值变化的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．例题与练习的选配难易适中，代表广泛，并有利于巩固本课重点知识．拓展延伸中提出的三个问题都是二次函数的重要特征，实用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果．

2019-2020年高三数学总复习任意角的三角函数教案理

这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式

（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．

1.让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．

2.理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式

（一），并能初步应用它们解决一些问题．

3.通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．

任务分析

在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数．定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数．定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：

这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义．对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式

（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力．

一、情景设置

初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．

在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，

现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而

即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．

二、建立模型

一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：

那么，OP＝，记作r，（r＞0）．

对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：

.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为

对于定义，思考如下问题：

1.当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？

为什么？

2.利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？

3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？

三、解释应用

1.已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．

若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？

（m≠0）

2.求下列角的六个三角函数值．

强化定义．

1.已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．

（1）P（3，－4）．　

（2）P（m，3）．

2.计　算．

（1）5sin90°

＋2sin0°

－3sin270°

＋10cos180°

．

1.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．

2.根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．

3.计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．

（1）sin30°

，sin390°

．　　

（2）cos45°

，cos（－315°

）．

规律：

终边相同的角有相同的三角函数值，

即sin（α＋k360°

）＝sina，

cos（α＋k·

360°

）＝cosa，

tan（α＋k·

）＝tana，（k∈Z）．

五、应用与深化

1.确定下列三角函数值的符号．

2.求证：

角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．

证明：

充分性：

如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．

又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．

∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．

必要性：

若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．

从而结论成立．

1.设α是三角形的一个内角，问：

在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？

2.函数

的值域是____________．

这节课在设计上特别注意了以下几点：

①前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲“0°

～360°

”的情况逐渐过渡到“任意角”的情况，讲清了推广的必要性及意义．②注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公式

（一）．这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．③注意了跟踪练习的设计．

例题典型，练习有层次和变化，巩固知识到位．

总体来说，这是一节实用较强，形式又不乏新颖的较好案例．