导数及其应用知识点经典习题集.docx
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导数及其应用
1、函数的平均变化率为
注1:
其中是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:
函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:
函数在处的瞬时变化率是,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景
(1)切线的斜率;
(2)瞬时速度;(3)边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式
函数
导函数
不定积分
0
————————
————————
6、常见的导数和定积分运算公式:
若,均可导(可积),则有:
和差的导数运算
积的导数运算
特别地:
商的导数运算
特别地:
复合函数的导数
微积分基本定理
(其中)
和差的积分运算
特别地:
积分的区间可加性
7.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;[注]:
求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
8.求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数(3)求方程=0的根(4)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值
9.利用导数求函数的最值的步骤:
求在上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求在上的极值;⑵将的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
[注]:
实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
10.求曲边梯形的思想和步骤:
分割近似代替求和取极限(“以直代曲”的思想)
11.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
性质5若,则
①推广:
②推广:
12.定积分的取值情况:
定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.
(l)当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.
13.物理中常用的微积分知识
(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。
(2)力的积分为功。
课后练习题:
1.已知函数f(x)=ax2+c,且=2,则a的值为()
A.1B.C.-1 D.0
2.已知函数在处的导数为3,则的解析式可能为()
A.(x-1)3+3(x-1)B.2(x-1)2C.2(x-1)D.x-1
3.已知函数在处的导数为1,则=()
A.3B.C.D.
4.函数y=(2x+1)3在x=0处的导数是()
A.0 B.1C.3 D.6
5.函数处的切线方程是 ()
A. B.C.D.
6.曲线与坐标轴围成的面积是()
A.4B.C.3D.2
7.一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是()
A.4s末B.8s末C.0s与8s末D.0s,4s,8s末
8.8.函数有()A.极小值-1,极大值1 B.极小值-2,极大值3
C. 极小值-1,极大值3D.极小值-2,极大值2
9.已知自由下落物体的速度为V=gt,则物体从t=0到t0所走过的路程为()A.B.C.D.
10.如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长6cm,则力所做的功为()A.0.28JB.0.12JC.0.26JD.0.18J
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.函数的单调区间为___________________________________。
12.设函数,=9,则____________________________.
13.物体的运动方程是s=-t3+2t2-5,则物体在t=3时的瞬时速度为______.
14.有一长为16m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______m2.
15.,__________________.
三、解答题
16.计算下列定积分。
(1)
(2)
17.求的单调递增区间。
18.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:
达到100人的团体,每人
收费1000元。
如果团体的人数超过100人,那么每超过1人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过180人,如何组团可使旅行社的收费最多?
(不到100人不组团)
19.物体A以速度在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?
相遇时物体A的走过的路程是多少?
(时间单位为:
s,速度单位为:
m/s)
参考答案:
一.选择题:
1-5:
AABDD6-10:
CDCAD
二.
11.递增区间为:
(-∞,),(1,+∞)递减区间为(,1)
(注:
递增区间不能写成:
(-∞,)∪(1,+∞))
12.613.314.16
15.1,
三.16.解:
(1)=
=+
=
(2)原式===1
17.解:
由函数的定义域可知,
即
又
所以
令,得或
综上所述,的单调递增区间为(0,1)
18.解:
设参加旅游的人数为x,旅游团收费为y
则依题意有
=1000x-5(x-100)x(100≤x≤180)
令得x=150
又,,
所以当参加人数为150人时,旅游团的收费最高,可达112500元。
19.设A追上B时,所用的时间为依题意有
即
=5(s)
所以==130(m)