完整word版20xx高考一轮复习教案函数及其表示docWord格式文档下载.docx
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3．分段函数
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，
这种函数称为分段函数．
（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
易误提醒
（1）解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
（2）误把分段函数理解为几个函数组成．
必备方法求函数解析式的四种常用方法
（1）配凑法：
由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替
代g（x），便得f（x）的表达式；
（2）待定系数法：
若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法；
函数的实
际应用问题多用此法；
（3）换元法：
已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
1
或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外
（4）解方程组法：
已知关于
f（x）与fx
一个等式组成方程组，通过解方程组求出
f（x）．
2．（2016贵·
阳期末）函数f（x）＝log（x＋1）的定义域为（）
2
A．（0，＋∞）
B．[－1，＋∞）
C．（－1，＋∞）
D．（1，＋∞）
3．f（x）与g（x）表示同一函数的是（
3
A．f（x）＝x2－1与g（x）＝
x－1·
x＋1
B．f（x）＝x与g（x）＝x2
＋x
x
＋1
C．y＝x与y＝（x）2
D．f（x）＝x2与g（x）＝3x3
x2＋1，x≤0，
4．若函数f（x）＝1
则f（f
（2））＝（）
log2x，x>
，
A．－1
B．2
C．1
D．0
考点一函数的定义域问题|
函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归
纳起来常见的命题探究角度有：
1．求给定函数解析式的定义域；
2．已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域；
3．已知定义域确定参数问题．
探究一求给定解析式的定义域
1．（2015江·
西重点中学一联
）函数f（x）＝
3x＋lg（3－x）的定义域是（
x－2
A．（3，＋∞）
B．（2,3）
C．[2,3）
D．（2，＋∞）
探究二已知f（x）的定义域，求
f（g（x））的定义域
f3x的定义域是（
2．若函数y＝f（x）的定义域是[0,3]，则函数g（x）＝x－1
A．[0,1）
B．[0,1]
C．[0,1）∪（1,9]
D．（0,1）
探究三已知定义域求参数范围问题
3．若函数f（x）＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．
函数定义域的三种类型及求法
（1）
已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式
（组）求解．
（2）
对实际问题：
由实际意义及使解析式有意义构成的不等式
（3）
若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f（g（x））的定义域由不等式
a≤g（x）≤b求出．
考点二函数解析式的求法|
（1）已知f（1－cosx）＝sin2x，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，求f（x）的解析式；
（3）已知f（x）＋2fx＝x（x≠0），求f（x）的解析式．
函数解析式求法中的一个注意点
利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．
求下列函数的解析式：
（1）已知fx＋1＝lgx，求f（x）；
（2）2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求f（x）．
考点三分段函数|
2x－1－2，x≤1，
1．（2015高·
考全国卷Ⅰ）已知函数
且f（a）＝－3，则f（6－a）
f（x）＝－log2x＋1，x>
1，
＝（）
7
5
A．－4
B．－4
C．－4
D．－4
2．（2015高·
考全国卷Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点
P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为
x的函
数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（
分段函数“两种”题型的求解策略
（1）根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
（2）已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段
的自变量的取值范围．
3.分段函数的定义理解不清致误
2x＋a，x<
1，
若f（1－a）＝f（1＋a），则a的
【典例】
已知实数a≠0，函数f（x）＝
－x－2a，x≥1，
值为________．
[易误点评]
本题易出现的错误主要有两个方面：
（1）误以为1－a<
1,1＋a>
1，没有对a进行讨论直接代入求解．
（2）求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．
[防范措施]
（1）对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．
（2）检验所求自变量的值或范围是否符合题意
求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
x，x≥0，
[跟踪练习
]
设函数
f（x）＝
若f（a）＋f（－1）＝2，则
a＝（
－x，x<
0，
A．－3
C．－1
B．±
D．±
A组考点能力演练
考陕西卷）设f（x）＝
1－x，x≥0，
则f[f（－2）]＝（
2x，x<
0，
B.4
C.2
D.2
1＋x的定义域为（）
2．（2015北·
京朝阳模拟）函数f（x）＝x－1
A．[0，＋∞）
B．（1，＋∞）
C．[0,1）∪（1，＋∞）
D．[0,1）
3．已知函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），如果f（x＋2
014）＝
2sinx，x≥0
，那么
lg－x，x<
π
f2014＋4·
f（－7986）＝（）
A．2014
B．4
C.4
D.2014
3＋x
4．（2016岳·
阳质检）设函数f（x）＝lg3－x，则f
3＋f
x的定义域为（）
A．（－9,0）∪（0,9）
B．（－9，－1）∪（1,9）
C．（－3，－1）∪（1,3）
D．（－9，－3）∪（3,9）
5．若函数f（x）＝x2＋ax＋1的定义域为实数集
R，则实数a的取值范围为（）
A．（－2,2）
B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C．（－∞，－2]∪[2，＋∞）
D．[－2,2]
6．（2015陕·
西二模）若函数f（x）＝
lgx，x>
，则f（f（－99））＝________.
1－x，x≤0
7．函数y＝f（x）的定义域为[－2,4]，则函数g（x）＝f（x）＋f（－x）的定义域为________．
＝－f（x）的函数，我们称为满足“倒
8．具有性质：
fx
负”变换的函数．下列函数：
x，0<
x<
0，x＝1，
①y＝x－x；
②y＝x＋x；
③y＝
－x，x>
1.
其中满足“倒负”变换的函数是
________．
x－1，x>
9．已知f（x）＝x2－1，g（x）＝
2－x，x<
0.
（1）求f（g
（2））和g（f
（2））的值；
（2）求f（g（x））的解析式．
10．动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过
B，C，D绕边界一周，当x
表示点P的行程，y表示PA的长时，求y关于x的解析式，并求
f2
的值．
B组高考题型专练
1．（2014·
考山东卷高）函数f（x）＝的定义域为（）
log2x－1
A．（0,2）
B．（0,2]
C．（2，＋∞）
D．[2，＋∞）
2．（2015·
考湖北卷高
x2－5x＋6
）函数f（x）＝4－|x|＋lg
的定义域为（
x－3
A．（2,3）
B．（2,4]
C．（2,3）∪（3,4]
D．（－1,3）∪（3,6]
3x－b，x<
3．（2015高·
考山东卷）设函数f（x）＝
2x，x≥1.
若ff6
＝4，则b＝（）
A．1
B.8
4．（2015·
考浙江卷高
）存在函数f（x）满足：
对于任意
x∈R都有（
A．f（sin2x）＝sinx
B．f（sin2x）＝x2＋x
C．f（x2＋1）＝|x＋1|
D．f（x2＋2x）＝|x＋1|
5．（2014高·
考四川卷）设f（x）是定义在R上的周期为
2的函数，当x∈[－1,1）时，f（x）＝
－4x2＋2，－1≤x＜0，
x，0≤x＜1，
则f2＝________.
答案：
1.解析：
本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，
所以排除A，B，C，故选D.
2.解析：
由x＋1>
0知x>
－1，故选C.答案：
C
3.解析：
选项A，C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B正确．
4.解析：
本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，
f
（2）＝log22＝－1，所
以f（f
（2））＝f（－1）＝（－1）2＋1＝2，故选B.答案：
B
x－2>
1.解析：
本题考查函数的定义域．由题意得
解得2<
3，故选B.答案：
3－x>
0≤3x≤3，
即0≤x<
1，因此函数g（x）的定义域是[0,1），故选A.
依题意得
x－1≠0，
.解析：
函数f（x）的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－
a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有
＝（2a）2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：
[－1,0]
例1[解]
（1）f（1－cosx）＝sin2x＝1－cos2x，
令t＝1－cosx，则cosx＝1－t，t∈[0,2]，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0,2]，
即f（x）＝2x－x2，x∈[0,2]．
（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝2，得c＝2，
f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
2a＝1，
a＝2，
∴
即
a＋b＝－1，
b＝－2.
∴f（x）＝12x2－32x＋2.
111
（3）∵f（x）＋2fx＝x，∴fx＋2f（x）＝x.
fx＋2fx＝x，
2x
解方程组
得f（x）＝3x－3（x≠0）．变式1
解：
（1）令t＝x＋1，则x＝t－1
f
＋2fx＝x，
∴f（t）＝lg
2，即f（x）＝lg
（x>
1）．
t－1
x－1
（2）∵2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），∴2f（－x）－f（x）＝lg（1－x）．
2fx－f－x＝lgx＋1，
解方程组得
2f－x－fx＝lg1－x
f（x）＝3lg（x＋1）＋3lg（1－x）（－1<
a>
因为f（x）＝
f（a）＝－3，所以
或
－log2x＋1
，x>
－log2a＋1＝－3，
a≤1，
2a－1－2＝－3，
解得a＝7，所以f（6－a）＝f（－1）＝2－1－1－2＝－4，选A.答案：
A
由于f（0）＝2，f4
＝1＋
5，f2
＝2
2<
f4
，故排除选
项C、D；
当点P在BC上时，f（x）＝BP＋AP＝tanx＋4＋tan2x
0≤x≤4，不难发现f（x）的图象是非线性的，排除选项
A.故选B.答案：
1.[解析]当a>
0时，1－a<
1，由f（1－a）＝f（1＋a）可得2－2a＋a＝－1－a－2a，
解得a＝－3，不合题意；
当
a<
0时，1－a>
1,1＋a<
1，由f（1－a）＝f（1＋a）可得－1＋a－2a
＝2＋2a＋a，解得a＝－.[答案]－
4
变式解析：
因为f（－1）＝
－－1＝1，所以f（a）＝1，当a≥0时，a＝1，所以a＝1；
当a<
0时，－a＝1，所以a＝－1.故a＝±
1.
D
由f（－2）＝2－2＝
4，∴f[f（－2）]＝f
4＝1－
＝2.
本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数
f（x）
x－1≠0，
解得x≥0
且x≠1，即函数定义域是
[0,1）∪（1，＋∞），故选C.
有意义，则
x≥0，
3.3.解析：
f2014＋
＝
2sin
＝1，f（－7986）
＝f（2014－10000）＝lg10000＝4，
则f2014＋4·
f（－7986）＝4.答案：
利用函数f（x）的定义域建立不等式组求解．
要使函数f（x）有意义，则
3＋x
>
0，解
3－x
－3<
3<
3，
－9<
9，
得－3<
3.所以要使f3＋f
x有意义，则
解得
所以定义域
x<
－1或x>
为（－9，－1）∪（1,9），故选B.答案：
5.解析：
函数的定义域为R等价于对?
x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f（x）＝x2＋ax＋1，结合
二次函数的图象（图略），只需＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D.
6.解析：
f（－99）＝1＋99＝100，所以f（f（－99））＝f（100）＝lg100＝2.答案：
2
－2≤x≤4，
7.解析：
由题意知
解得－2≤x≤2.答案：
[－2,2]
－2≤－x≤4，
8.解析：
对于①，f（x）＝x－x，f
＝x－x＝－f（x），满足题意；
对于②，f
x＝x＋1＝f（x）≠
－f（x），不满足题意；
对于③，
，0<
<
x，x>
fx＝0，x＝1，
即fx＝0，x＝1，
－x，0<
－x，x>
故fx＝－f（x），满足题意．答案：
①③
9.解：
（1）由已知，g
（2）＝1，f
（2）＝3，∴f（g
（2））＝f
（1）＝0，g（f
（2））＝g（3）＝2.
（2）当x>
0时，g（x）＝x－1，故f（g（x））＝（x－1）2－1＝x2－2x；
当x<
0时，g（x）＝2－x，故
x2－2x，
x>
f（g（x））＝（2－x）2－1＝x2－4x＋3；
∴f（g（x））＝
x2－4x＋3，x<
10.解：
当P点在AB上运动时，y＝x（0≤x≤1）；
当P点在BC上运动时，
y＝
12＋x－12＝
x2－2x＋2（1<
x≤2）；
当P点在CD上运动时，y＝12＋3－x2＝
x2－6x＋10（2<
x≤3）；
当P点在DA
上运动时，y＝4－x（3<
x≤4）；
综上可知，y＝f（x）＝
x，0≤x≤1，
x2－2x＋2，1<
x≤2，
∴f2＝2.
x2－6x＋10，2<
x≤3，
4－x，3<
x≤4.
B组
高考题型专练
log2x－1>
∵f（x）有意义，∴
∴x>
2，∴f（x）的定义域为（2，＋∞）．答案：
4－|x|≥0
－4≤x≤4
依题意知，
x2－5x＋6
，即
升级会员 