上海中考数学压轴题专题复习相似的综合Word文档格式.docx

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a=±

，

∵a>

0，

B（1，）；

3）解：

如图3，

设AC=nBC，

由

（2）同理可知：

A的横坐标是B的横坐标的n倍，

则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），

∴AD=am2n2，

过B作BF⊥x轴于F，

∴DE∥BF，

∴△BOF∽△EOD，

∴，

∴，DE=am2n，

∵OC∥AE，

∴△BCO∽△BAE，

∴CO==am2n，

∴DE=CO．

【解析】【分析】

（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称

点，可知AC=BC=1，由∠AOB=6°

0，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出

OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

（2）过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，根据平行

线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A的横坐标为﹣4，求出点B的横坐标为1，则A（-

4，16a），B（1，a），再根据已知证明∠BOE=∠DAO，∠ADO=∠OEB，就可证明

△ADO∽△OEB，得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，

确定点B的坐标即可。

（3）根据

（2）可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，

am2n2），得出AD的长，再证明△BOF∽△EOD，△BCO∽△BAE，得对应边成比例，证得

CO=am2n，就可证得DE=CO。

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，

点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方

向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间

1）求证：

△BEF∽△DCB；

2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？

试说明理由．

【答案】

（1）解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

在中，

∵别是的中点，

∴EF∥AD，

∴EF∥BC，

∴

（2）解：

如图1，过点Q作于，

（舍）或秒

当点Q在DF上时，如图2，

Q在BF上时，，如图3，

时，如图4，

时，如图5，

综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形

（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而

可证△BEF∽△DCB；

（2）过点Q作QM⊥EF于M，先根据相似三角形的预备定理可证

△QMF∽△BEF；

再由△QMF∽△BEF可用含t的代数式表示出QM的长；

最后代入三角

形的面积公式即可求出t的值。

（3）由题意应分两种情况：

（1）当点Q在DF上时，因

为∠PFQ为钝角，所以只有PF=QF。

（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所

以有PF=QF；

PQ=FQ；

PQ=PF三种情况，因此所求的t值有四种结果。

3．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°

，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接

DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

1）问题发现

1当α=0时，°

=；

②当α=180时，°

=．

（2）拓展探究

试判断：

当0°

≤α<

360°

时，的大小有无变化？

请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

（1）；

如图2，

时，的大小没有变化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

①如图3，

AC=4，CD=4，CD⊥AD，

AD=

AD=BC，AB=DC，∠B=90，°

四边形ABCD是矩形，

BD=AC=．

2如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点

∵AC=，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE==2，

∴AE=AD-DE=8-2=6，

由

（2），可得

∴BD=．

综上所述，BD的长为或．

【解析】【解答】

（1）①当α=0°

时，

∵Rt△ABC中，∠B=90，°

Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得

②如图1，当α=180°

时，根据平行线分线段成比例定理得

出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。

（2）当0°

时，AE∶BD的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进

而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例，及夹角相等的三

角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;

3．3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且

有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出

BD=AC=；

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线

交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的

长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由

（2），可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。

4．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为

边向右侧作等腰直角△ADE，其中∠ADE=9°

0．

求证：

1）如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH．

△AGD∽△AHE；

（2）如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形；

（3）在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值．

【答案】

（1）证明：

如图2，由题意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠B=∠DAE=45．°

∵H为BC中点，

∴AH⊥BC．

∴∠BAH=45=°

∠DAE．

∴∠GAD=∠HAE．

在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，

AH＝AB＝AG，AE＝AD．

∴△AGD∽△AHE；

分三种情况：

①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE；

②当AB=AE时，如图4，此时E与C重合，

∴BD=BC=2；

③当AB=BE时，如图5，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于

G，连接DH，

∵AE=BE，EH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AM=BM，

∵∠ABC=45，°

∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形，

∵AD=DE，∠ADE=90，°

易得△ADM≌△DEG，

∴DM=EG，

∵∠EMG=∠BMH=45°

∴△EMG是等腰直角三角形，

∴ME=MG，

由

（1）得：

△AHD∽△AME，且，

∴∠AHD=∠AME=135，°

ME=DH，

∴∠BHD=45，°

MG=DH，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD=DH=EG=DM=；

综上所述，当BD=0或或2时，△ABE是等腰三角形；

当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，如图6，

此时，∠ABM=∠BAC=9°

0，∠AMB=∠BAM=4°

5，BM=AB=AC．

∴四边形ABMC是正方形．

∴∠BMC=90°

∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°

∵∠BAM=∠DAE=45，°

∴∠BAD=∠MAE，

在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，

AM＝AB，AE＝AD．

∴．

∴△ABD∽△AME．

∴∠AME=∠ABD=45°

∴点E在射线MC上，

作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，

∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=，BE′+AE′

∴△ABE就是所求周长最小的′△ABE．

在Rt△ABN中，

∵AB=4，BN=2BM=2AB=8，

∴AN＝．

∴△ABE周长最小值为AB+AN＝4+4．

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠DAE=∠BAH=4°

5，所以

∠GAD=∠HAE，计算可得比例式：

，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等

的两个三角形相似可得△AGD∽△AHE；

（2）根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：

①当B与D重合时，即BD=0，此时

AB=BE；

②当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得BD的值；

③当AB=BE时，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接

DH，由已知条件和

（1）的结论可求解；

（3）当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，作点B关于直线MC的对称

点N，连接AN交MC于点E′，由已知条件易证四边形ABMC是正方形，由已知条件通过计

算易得比例式：

根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似

可得△ABD∽△AME,则∠AME=∠ABD=4°

5，于是可得点E在射线MC上，根据轴对称的性

质可得△ABE′就是所求周长最小的△ABE，在Rt△ABN中，用勾股定理即可求得AN的值，

则△ABE周长最小值=AB+AN即可求解。

5．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P

是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．

C的坐标

2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标.

（1）y＝﹣x2＋3x＋4；

（－1,0）

∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴

∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2＋3m＋4）．

①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝m2－3m，

（舍去）或

时，﹣m2＋3m＋4＝，此时点P的坐标为（

②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得：

，即：

∴＝0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．

综上所述：

点P的坐标为（）或（）．

【解析】【解答】解：

（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点

B（4，0），

∴，解得：

，∴抛物线的解析式为：

y＝﹣x2＋3x＋4．

令y=0，得：

﹣x2＋3x＋4=0，解得：

x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）．

【分析】

（1）根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c，可以求出

抛物线的解析式；

（2）C为x轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得C点坐标。

AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.

1）当点P在线段AB上时，求证：

△APQ∽△ABC；

2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.

【答案】

（1））证明：

∵∠A+∠APQ=9°

0，∠A+∠C=90°

，∴∠APQ=∠C.

在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

△APQ∽△ABC.

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：

AC=5.

∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.

I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，

1）可知，△APQ∽△ABC，

，即，解得：

.

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示,

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.

∵∠BQP+∠AQB=90，°

∠A+∠P=90，°

∴∠AQB=∠A。

∴BQ=AB。

∴AB=BP，点B为线段AB中点。

∴AP=2AB=2×

3=6.

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.

（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC。

（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论.（I）当点P在线段AB上

时，如题图1所示.由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；

（II）当点P在线

段AB的延长线上时，如题图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从

而可以求出AP.

7．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC是边长为2的等边三角形，E

是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，

请你找出来，并证明；

（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE

的长；

（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面

积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；

（4）如图2，当△ECD的面积S1＝时，求AE的长．

现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE?

△CBF.

由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°

∴∠CBF=∠ABE=60-∠°

CBE，∴△ABE?

由

（1）知点E在运动过程中始终有△ABE?

△CBF，

因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和，

∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积，因△ABC的边长为2，则

四边形BECF的面积为，又四边形ABFC的面积是，

，在三角形ABE中，因∠A=60，°

∴边AB上的高为AEsin60,

（3）解：

由图2知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°

又∠CBF=∠ABE=60°

+∠CBE，∴△ABE?

∴，∴，

则，则

（4）解：

由（3）知，即，

，∵△ABE?

∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60，°

又∠BAE=∠ABC=6°

0，得∠ABC=∠BCF，∴CF∥AB，则△BDF的边CF上的高与△ABC的高

相等，即为，

则DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，∴CD=x-，

化简得，∴x=1或x=-（舍），

即CE=1，∴AE=3.

（1）不难发现△ABE?

△CBF，由等边三角形的性质得到相应的条件，根

据“SAS判定”三角形全等；

（2）由

（1）可得△ABE?

△CBF，则，则四边形

ABFC==，由四边形ABFC的

面积为和等边三角形ABC的边长为2，可求得△ABE的面积，由底AB×

AEsin60，构造°

方程可解出AE.（3）当E在AC的延长线上时，△ABE?

△CBF依然成立，则

，即由等量关系即可得答案.

（4）由（3）可求出△FBD的面积，由△ABE?

△CBF，则AE=CF，

∠BAE=∠BCF=60=°

∠ABC，则CF//AB,则对于△BDF的边CF上的高等于△ABC的高，则可求

出DF的长度；

由AE=CF，可设CE=x，且CD//AB可得，代入相关值解出x即可.

8．如图，已知抛物线过点A和B，过点A

作直线AC//x轴，交y轴与点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，

D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得?

若存在，求出点Q的坐标；

若不存

在，请说明理由。

∵点A、B在抛物线上，

抛物线解析式为：

y=x2-x.

（2）当P在直线AD上方时，

设P坐标为（x，），则有AD=x-，

整理得：

3x2-9x+18=2x-6，即3x2-11x+24=0，

解得：

x=

即x=或x=（舍去）,

此时P（）；

当△OCA∽△PDA时，，即，

，即x2-

，即x=4或（舍去），

此时P（4,6）；

当点P（0,0）时，也满足△OCA∽△PDA；

当P在直线AD下方时，同理可得，P的坐标为（），

综上，P的坐标为（）或（4,6）或（）或（0,0）

∵A，

∴AC=,OC=3，

∴OA=2,

∴=O·

C·

AC=O·

A·

h=，

∴h=，

又∵=，

∴△AOQ边OA上的高=3h=,

过O作OM⊥OA,截取OM=，过点M作MN∥OA交y轴于点N，过M作HM⊥x轴,（如

图），

AC=,OA=2,

∴∠AOC==30，°

又∵MN∥OA，

∴∠MNO=∠AOC=30，°

OM⊥MN，

∴ON=2OM=9，∠NOM=60°

即N（0,9），

∴∠MOB=30°

∴MH=OM=,

∴OH==,

∴M（，），

设直线MN解析式为：

y=kx+b，

∴直线MN解析式为：

y=-x+9，

∴x-x-18=0,

（x-3）（x+2）=0,

∴x=3,x=-2，

∴或，

∴Q点坐标（3，0）或（-2，15），

∴抛物线上是否存在点Q，使得.

（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程

组，解之即可得抛物线解析式.

（2）设P坐标为（x，），表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x

的值，即可确定出P坐标。

（3）根据点A坐标得AC=,OC=3，由勾股定理得OA=2,根据三角形面积公式可得

△AOC边OA上的高h=，又=得△AOQ边OA上的高为；

过O作

OM⊥OA,截取OM=，过点M作MN∥OA交y轴于点N，过M作HM⊥x轴,（如图），

根据直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（