基础排列组合部分知识总结.doc

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计数原理

1.排列组合

知识导学：

1.分类计数原理：

完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有种不同的方法，在第2类办法中，有种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝＋＋……＋种不同的方法.

2.分步计数原理：

完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有种不同的方法，做第2步，有种不同的方法，……做第ｎ步，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法.

排列数公式：

（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）

组合数公式：

（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）

组合数的两个性质

　　　　　　　　　规定：

 例l、分类加法计数原理的应用

在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

分析：

该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类．

解法一：

按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，l个．

由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+l＝36个．

解法二：

按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是l个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，

所以按分类加法计数原理共有l+2+3+4+5+6+7+8=36个．

点评：

分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事。

解决该类问题应从简单分类讨论入手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题．

例2、分步乘法计数原理的应用

书架上的一格内有6本不同的书，现在再放上3本不同的书，但要保持原有书的相对顺序不变，那么所有不同的放法共有多少种？

解析（插空法）：

把3本不同的书放入书架，需保持书架上原有书的相对位置不变．

完成这件事分为三个步骤，每一步各放1本．

第一步有m1=7种放法，第二步有m2=8种放法，第三步有m3=9种放法，

由分步乘法计数原理可知，共有N=m1×m2×m3=7×8×9=504种放法．

 例3、两个计数原理的综合应用

有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．

（l）若只需一人参加，有多少种不同方法？

（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？

（3）若需一名老师和一名同学有多少种不同选法？

解析：

（l）有三类选人的方法：

3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法。

由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．

（2）分三步选人：

第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5=120种选法．

（3）可分两类，每一类又分两步．第一类：

选一名老师再选一名男同学，有3×8=24种选法；第二类：

选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．

由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．

   点评：

在用两个计数原理处理具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．

例4、排列的应用问题

   六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

（l）甲不站两端；

（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端．

分析：

本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力．

解析：

（l）方法一：

要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，

根据分步乘法计数原理，共有站法480（种）

方法二：

由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法480（种）

方法三（排除法）：

若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有480（种）

（2）方法一（捆绑法）：

先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有240（种）站法．

方法二（插空法）：

先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有240（种）

（3）方法一（插空法）：

因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有种，故共有站法为=480（种）.

方法二（排除法）：

6个人全排列有种站法，由

（2）知甲、乙相邻有240种站法，所以不相邻的站法有－720－240＝480（种）．

（4）方法一（插空法）：

先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有种站法．

方法二（捆绑法）：

先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有144种站法．

（5）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有种站法．

（6）方法一（排除法）：

甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有种，共有种站法．

方法二：

以元素甲分类可分为两类：

①甲站右端有种，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种，故共有=504种站法．

例5、组合的应用问题

课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

（1）只有一名女生；

（2）两队长当选；

（3）至少有一名队长当选；

（4）至多有两名女生当选；

（5）既要有队长，又要有女生当选．

解析：

（l）一名女生，四名男生．故共有350（种）

（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有=165（种）

（3）至少有一名队长含有两类：

只有一名队长和两名队长．故共有：

（种）．

或采用排除法：

825（种）

（4）至多有两名女生含有三类：

有两名女生、只有一名女生、没有女生．

故选法为：

（种）

（5）分两类：

第一类女队长当选：

；第二类女队长不当选：

。

故选法共有：

（种）

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