圆锥曲线中的最值和范围问题方法.doc
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专题14圆锥曲线中的最值和范围问题
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C)
A.(1,2)B.(1,2)C.D.(2,+∞)
2.P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(B)
A.6B.7C.8D.9
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(A)
A.B.C.D.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为:
(B)
(A) (B) (C) (D)
5.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是32.
6.设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值.
【专家解答】
(1)法1:
直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.
①
记A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组
②
的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,
所以
于是
设点P的坐标为(x,y),则
消去参数k得4x2+y2-y=0③
当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,
所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
解法二:
设点P的坐标为(x,y),因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以
④⑤
④—⑤得,
所以
当时,有⑥
并且⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧
当x1=x2时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点P的坐标为
(0,0)也满足⑧,所以点P的轨迹方程为
(2)由点P的轨迹方程知所以
故当,取得最小值,最小值为
当时,取得最大值,最大值为
★★★高考要考什么
【考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题,因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:
(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;
(2)不等式(组)求解法:
利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;
(3)函数值域求解法:
把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
(4)利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;
(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此,它们的应用价值在于:
①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;
②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;
(6)构造一个二次方程,利用判别式D³0。
★★★突破重难点
【范例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值,且cosÐF1PF2的最小值为.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若已知D(0,3),M、N在动点P的轨迹上且,求实数l的取值范围.
讲解 (1)由题意c2=5.设|PF1|+|PF2|=2a(),由余弦定理,得
.
又·,
当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取最大值,
此时cosÐF1PF2取最小值,令,
解得a2=9,,∴b2=4,故所求P的轨迹方程为.
(2)设N(s,t),M(x,y),则由,可得(x,y-3)=l(s,t-3),
故x=ls,y=3+l(t-3).
∵M、N在动点P的轨迹上,
且,
消去s可得,解得,
又|t|£2,∴,解得,
故实数l的取值范围是.
【点晴】为了求参数的取值范围,只要列出关于参数的不等式,而建立不等式的方法有多种方法,诸如:
判别式法、均值不等式法、有界性法等等.
【文】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
解:
(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,
所求方程为:
(x>0)
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,
此时A(x0,),B(x0,-),=2
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,
代入双曲线方程中,得:
(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
解得|k|>1,
又=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=>2
综上可知的最小值为2
【范例2】给定点A(-2,2),已知B是椭圆上的动点,F是右焦点,当取得最小值时,试求B点的坐标。
解析:
因为椭圆的,所以,而为动点B到左准线的距离。
故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之和最小,过点B作l的垂线,垂点为N,过A作此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义
于是为定值
其中,当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立,此时B为
所以,当取得最小值时,B点坐标为
【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时,常常用圆锥曲线的定义化折为直,是一种简便而有效的好方法。
【文】点A(3,2)为定点,点F是抛物线y2=4x
的焦点,点P在抛物线y2=4x上移动,若|PA|+|PF|
取得最小值,求点P的坐标。
解:
抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
设P到准线的距离为d,则|PA|+|PF|=|PA|+d。
要使|PA|+|PF|取得最小值,由图3可知过A点
的直线与准线垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,把y=2
代入y2=4x,得P(1,2)。
【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解:
故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|2=x2+(y-4)2①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②
将②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动,所以-1£y£1,故当时,
此时
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【文】设P是椭圆短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值。
解:
依题意可设P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-)2-+1+a2.
因为|y|≤1,a>1,若a≥,则||≤1,当y=时,|PQ|取最大值;
若1【范例4】已知△OFQ的面积为,
(1)设,求ÐOFQ正切值的取值范围;
(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),当取得最小值时,求此双曲线的方程。
解析:
(1)设ÐOFQ=q
(2)设所求的双曲线方程为
∴,∴
又∵,∴
当且仅当c=4时,最小,此时Q的坐标是或
,所求方程为
【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时,可通过建立目标函数,求其目标函数的最值,求函数最值的常用方法有:
一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
【文】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2),对应的准线方程为,且离心率e满足:
成等差数列。
(1)求椭圆方程;
(2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。
(1)解:
依题意e,
∴a=3,c=2,b=1,
又F1(0,-2),对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点,所求方程为
(2)假设存在直线l,依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。
设直线l:
y=kx+m
由消去y,整理得(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N,
∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0即m2-k2-9<0 ①
设M(x1,y1),N(x2,y2)②
把②代入①式中得
∴k>或k<-
∴直线l倾斜角
★★★自我提升
1.设AB是过椭圆中心的弦,椭圆的左焦点为F1(-c,0),则△F1AB的面积最大为(A)
A.bc B.ab C.ac D.b2
2.已知A(3,2)、B(-4,0),P是椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为(C)
A.10 B.C. D.
3.已知双曲线,过其右焦点F的直线l交双曲线于AB,若|AB|=5,则直线l有(B)
A.1条B.2条C.3条D.4条
4.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(C)
A.5 B.4 C. (D)
5.设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为____
.
6.抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________,1)
7.如图,已知A、B是椭圆的两个顶点,
C、D是椭圆上两点,且分别在AB两侧,则四边形ABCD
面积的最大值是_______
8.如图3,抛物线y2=4x的一段与椭圆的一段围成封闭图形,点
图3
A
B
N
O
x
y
N(1,0)在x轴上,又A、B两点分别在抛物线及椭圆上,且AB//x轴,求△NAB
的周长l的取值范围。
解:
易知N为抛物线y2=4x的焦点,又为椭圆的右焦点,
抛物线的准线l1:
x=-1,椭圆的右准线l2:
x=4,
过A作AC^l1于C,过B作BD^l2于D,
则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。
由,得抛物线与椭圆的交点M的横坐标
而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|
∴△NA