贵阳专用中考数学总复习专题五几何图形探究问题针对训练Word格式文档下载.docx

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则CE∶CD＝

a∶a＝

；

②如答图2，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，

由勾股定理得，AC＝AE＝

a.

∴∠ADC＝90°

，即AD⊥CE，

∴DE＝CD＝a，∴CE∶CD＝2a∶a＝2.

即CE∶CD＝

图1　　　　图2　　　　　　图3

（3）∵点P在运动中保持∠APD＝90°

∴点P的路径是以AD为直径的圆上的一段弧．

如答图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大．

∵在Rt△QDC中，QC＝

＝

∴CP＝QC＋QP＝

＋1，

即线段CP的最大值是

＋1.

2．问题探究

（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；

问题解决

（3）如图3，AC是边长为2

的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°

.点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P.求△APB周长的最大值．

图1　　　　　图2　　　　　图3

（1）AM⊥BN.

证明：

∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°

∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM＝∠CBN.

∵∠CBN＋∠ABN＝90°

∴∠ABN＋∠BAM＝90°

∴∠APB＝90°

，∴AM⊥BN.

（2）如答图1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB，∠AEB＝90°

，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB交PB延长线于G，连接EP.

答图1

∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°

∴四边形EFPG是矩形，

∴∠FEG＝∠AEB＝90°

∴∠AEF＝∠BEG.

∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°

∴△AEF≌△BEG，

∴EF＝EG，AF＝BG，

∴四边形EFPG是正方形，

∴PA＋PB＝PF＋AF＋PG－BG＝2PF＝2EF.

∵EF≤AE，∴EF的最大值为AE＝2

∴△APB周长的最大值为4＋4

（3）如答图2，延长DA到K，使得AK＝AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH＝PB，连接BH.

答图2

∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM＝∠CBN，

∴∠APN＝∠BAM＋∠ABP＝∠CBN＋∠ABN＝60°

∴∠APB＝120°

∵∠AKB＝60°

∴∠AKB＋∠APB＝180°

∴A，K，B，P四点共圆，

∴∠BPH＝∠KAB＝60°

∵PH＝PB，∴△PBH是等边三角形，

∴∠KBA＝∠HBP，BH＝BP，

∴∠KBH＝∠ABP.

∵BK＝BA，∴△KBH≌△ABP，

∴HK＝AP，

∴PA＋PB＝KH＋PH＝PK，

∴当PK的值最大时，△APB的周长最大，

∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，

∴△PAB的周长最大值为2

＋4.

3．（2016·

贵阳）

（1）阅读理解：

如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°

得到△EBD），把AB，AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线AD的取值范围是__2<

AD<

8__.

（2）问题解决：

如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：

BE＋CF>

EF.

（3）问题拓展：

如图3，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°

，CB＝CD，∠BCD＝140°

，以C为顶点作一个70°

角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

图1　　　　　　　图2　　　　　　图3

（1）解：

2<

8.

【解法提示】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．

在△BDE和△CDA中，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝6.

在△ABE中，由三角形的三边关系得AB－BE<

AE<

AB＋BE，

∴10－6<

10＋6，即4<

16，

∴2<

（2）证明：

如答图1，延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，

同

（1）得，△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF.

∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF.

在△BME中，由三角形的三边关系得BE＋BM>

EM，

∴BE＋CF>

（3）解：

BE＋DF＝EF.理由如下：

如答图2，延长AB至点N，

使BN＝DF，连接CN.

∵∠ABC＋∠D＝180°

∠NBC＋∠ABC＝180°

∴∠NBC＝∠D．

在△NBC和△FDC中，

∴△NBC≌△FDC（SAS），

∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD．

∵∠BCD＝140°

，∠ECF＝70°

∴∠BCE＋∠FCD＝70°

∴∠ECN＝70°

＝∠ECF.

在△NCE和△FCE中，

∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF.

∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.

4．（2018·

湖北）问题：

如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°

得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为__BC＝DC＋EC__；

探索：

如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：

如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°

.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

图1　　　　　图2　　　　　图3

（1）BC＝DC＋EC．

【解法提示】∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE.

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，

即BC＝DC＋EC．

（2）BD2＋CD2＝2AD2.

如答图1，连接CE.

由

（1）得△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，

∴∠DCE＝90°

∴CE2＋CD2＝ED2.

在Rt△ADE中，∵AD＝AE，∠DAE＝90°

∴DE2＝2AD2.

∴BD2＋CD2＝2AD2.

答图1　　　　　　　　答图2

（3）如答图2，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE.

∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∴CE＝BD＝9.

∵∠ADC＝45°

，∠EDA＝45°

∴∠EDC＝90°

∴DE＝

＝6

∵∠DAE＝90°

∴AD＝AE＝

DE＝6.

5．

（1）问题发现：

如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°

，连接EF，则EF＝BE＋DF，试说明理由；

（2）类比引申：

如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°

，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°

，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系__∠B＋∠D＝180°

__时，仍有EF＝BE＋DF；

（3）联想拓展：

如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°

，猜想BD，DE，EC满足的等量关系，并写出推理过程．

图1　　　　　　图2　　　　　图3

（1）如答图1.∵AB＝AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°

至△ADG，使AB与AD重合．

∵∠ADC＝∠B＝90°

∴∠FDG＝180°

，即点F，D，G共线，

则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，

∠FAG＝∠FAD＋∠GAD＝∠FAD＋∠BAE＝90°

－45°

＝45°

＝∠EAF，

即∠EAF＝∠FAG.

在△EAF和△GAF中，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝FG＝BE＋DF.

图1　　　　　图2

（2）∠B＋∠D＝180°

【解法提示】∵AB＝AD，

∴如答图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°

至△ADG，使AB与AD重合，

∴∠BAE＝∠DAG.

∵∠BAD＝90°

，∠EAF＝45°

∴∠BAE＋∠DAF＝45°

∴∠DAG＋∠DAF＝45°

∴∠EAF＝∠FAG.

∵∠ADC＋∠B＝180°

，即点F，D，G共线．

在△AFE和△AFG中，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF＝FG，

即EF＝BE＋DF.

故∠B＋∠ADC＝180°

答图3

（3）BD2＋CE2＝DE2.

推理过程：

如答图，把△ACE绕点A顺时针旋转90°

到△ABF的位置，连接DF，

则∠FAB＝∠CAE.

∵∠BAC＝90°

，∠DAE＝45°

∴∠BAD＋∠CAE＝45°

∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°

在△ADF和△ADE中，

∴△ADF≌△ADE（SAS），

∴DF＝DE.∵∠C＝∠ABF＝45°

∴∠DBF＝90°

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2＋BF2＝DF2，

∴BD2＋CE2＝DE2.

6．（2018·

衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC＝4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以

cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？

若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由；

（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

（1）如答图1，连接BP.

　答图1

在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°

∴AB＝4

∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP＝BQ.

∵AQ＝

t，CP＝t，

∴BQ＝4

－

t，PB2＝42＋t2，

∴（4

t）2＝16＋t2，

解得t＝8－4

或8＋4

（舍去），

∴当t＝（8－4

）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．

（2）存在．①如答图2，当PQ＝QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP＝90°

则有PA＝

AQ，

∴4－t＝

·

t，解得t＝

②存在．如答图3，当AP＝PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ＝90°

，则有AQ＝

AP，

∴

t＝

（4－t），解得t＝2.

综上所述，当t＝

s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．

图2　　　　图3

（3）如答图4，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.则QE＝AE，QF＝EC，可得QE＋QF＝AE＋EC＝AC＝4，

答图4

∴S＝S△QNC＋S△PCQ＝

CN·

QF＋

PC·

QE＝

t（QE＋QF）＝2t（0<

t<

4）.

7．（2018·

娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F.

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

（1）证明：

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

（2）解：

四边形BEDF是菱形．理由如下：

∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.

∵AD＝BC，∴DE＝BF.

∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．

∵OB＝OD，EF⊥BD，∴EB＝ED，

∴四边形BEDF是菱形．