九年级上册第一章证明一Word文档格式.docx
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（1）
（2）
（3）
★例题解析2如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
腰长10，底边1
注意：
等腰三角形关于边长与角度问题必须讨论，但并不是
每种情况都成立
★例题解析3正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ B ）
（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个
★例题解析4如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。
提示：
利用等腰三角形性质作解，S△OEF=3
★例题解析5四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°
，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ C ）
A．2B．3C．
D．
利用割补思想来求面积
★例题解析6
已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。
AD=3
★例题解析7如图，在△ABC中，∠ACB＝90°
，AC＝BC，M是AB上一点，求证：
.
构造直角三角形，如图，作高CD，在几个直角三角形中
运用勾股定理即可，另外注意线段之间的和差关系。
★例题解析8
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：
PD＋PE是一个定值.
如图中辅助线所示，把三角形分割为两部分，再利用等面积法求解
说明：
本例的结论可用文字语言叙述为：
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.
拓展：
如果点P不是在边BC上如图，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？
★例题解析9如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°
，AD⊥AC交BC于点D，求证：
BC=3AD.
注意角度关系，用等腰三角形性质求解
★例题解析10如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：
△BCE≌△ACD；
②求证：
CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由．
①△BCE≌△ACD（SAS）②△BCF≌△ACH（SAS）③结合前两问
★例题解析11
如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°
，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：
PB：
PC=3：
4：
5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
（1）△ABP≌△CBQ（SAS）
（2）利用三角形全等，把PA、PB、PC对应到△PQC中，利用勾股定理即可
★例题解析12如图，∠ABC=90°
，AB＝BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足为E、F，求证：
EF＝CE－AF．
证明△ABF≌△CBE（SAS），等量代换
★例题解析13如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证：
（1）∠EAD=∠EDA;
（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
注意角度间的等量代换
★例题解析14如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF
两次三角形全等即可
★例题解析15已知△ABC的两条高BD、CE交于点F，延长CE到Q，使CQ=AB，在BD上截取BP＝AC．
（1）AQ＝AP；
（2）AQ⊥AP
（1）△APB≌△QAC（SAS）
（2）角度代换
『三』衔接中考：
考题1:
（2012广东肇庆，9，3）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为
A．16B．18
C．20D．16或20
【答案】C
考题2:
（2012山东省滨州，1，3分）一个三角形三个内角的度数之比为2：
3：
7，这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】选D．
考题3:
2012四川泸州，11，3分）若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是（）
A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8
A
考题4:
（2012江苏苏州，9，3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°
后得到△A′OB′，若∠AOB=15°
，则∠AOB′的度数是（ ）
A．
25°
B．
30°
C．
35°
D．
40°
B
考题5:
（2012湖北荆州，9，3分）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（）
A．2B．2
C．
D．3
考题6:
（2012南京市，19，8）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E.
（1）求证：
△ABC≌△BDE；
（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）
解析：
由两线垂直，利用余角的性质，推出∠DBE＝∠A,证出△ABC≌△BDE；
利用旋转的性质，旋转中心是对应点中垂线的交点做出旋转中心O.
证明：
（1）∵BE⊥AC,
∴∠A+∠ABE=900,
∵∠ABC=900，
∴∠DBE+∠ABE=900,
∴∠A=∠DBE
∵∠ABC=∠BDE=900，BD=AB
∴△AOF≌△DOC
（2）分别作对应点B、D连线的中垂线、A、B连线的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O.
考题7:
（2012江苏省淮安市，21，8分）已知：
如图，在□ABCD中，延长AB到点E．使BE=AB，连接DE交BC于点F．求证：
△BEF≌△CDF．
【答案】解：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB，AB∥CD.
因为BE=AB，所以CD=BE.
因为AB∥CD，所以∠EBF=∠DCB．
在△BEF和△CDF中，
，所以△BEF≌△CDF（AAS）．
考题8:
（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°
，∠A=25°
，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
D
考题9:
（2013•衡阳）如图，∠1=100°
，∠C=70°
，则∠A的大小是（ ）
10°
20°
80°
C
考题10:
2013•湘西州）如图，一副分别含有30°
和45°
角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°
，∠B=45°
，∠E=30°
，则∠BFD的度数是（ ）
15°
考题11：
（2013•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ）
25
25或32
32
19
考题12：
（2013凉山州）已知实数x，y满足
，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．答案为：
20．
考题13：
如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠B=60°
，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________.
考题14：
如图1，在△ABC中，∠A=36°
，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
AE=BC；
（2）如图
（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°
＜α＜144°
）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：
CE′=BF′；
（3）在
（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？
若存在，求出相应的旋转角α；
若不存在，请说明理由．
解答：
（1）证明：
∵AB=BC，∠A=36°
，
∴∠ABC=∠
C=72°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°
∴∠BEC=180°
﹣∠C﹣∠CBE=72°
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．
（2）证明：
∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋转的性质可知：
∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．
（3）存在CE′∥AB，
理由：
由
（1）可知AE=BC，所以，在△AE
F绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，
如图：
①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°
，又∠BAC=36°
∴α=∠CAM=36°
．
②当点E的像E′与点N重合时，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°
∴∠MAN=180°
﹣2×
72°
=36°
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°
．
所以，当旋转角为36°
或72°
时，CE′∥AB．
考题15:
（2013凉山州）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
FD=BE．
∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AF=CE，
∴OF=OE，
∵在△DOF和△BOE中
∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴FD=BE．
『四』课堂练习：
▼
（一）基础类型：
1.填空题：
（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是22。
（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是20或22；
如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是20。
（3）等腰三角形的对称轴最多有3条。
2.填空题：
（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（C）
A、；
三条边长分别是5，5，11B、三条边长分别是4，4，8
C、周长为14，其中两边长分别是4，5D、周长为24，其中两边长分别是6，12
（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（D）
A、3B、2C、1.5D、2或1.5
3.已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。
5、15、15
4.
（1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
（2）等腰三角形有一个角是120°
，那么其他两个角的度数是300和300。
（3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C=360。
（4）在等腰三角形中，设底角为x°
，顶角为y°
，则用含x的代数式表示y，得y=180-2x；
用含y的代数式表示x，得x=
。
5.选择题：
（1）等腰三角形的一个外角为140°
，那么底角等于（D）
A、40°
B、100°
C、70°
D、40°
或70°
（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（C）
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（B）
A、100°
B、75°
C、150°
D、75°
或100°
（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，
③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（A）
A、4B、3C、2D、1
6.△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，分别交AB、AC于D、E两点则△BCD的周长是33。
7.在△ABC中，AB=AC，∠A=50°
，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，则∠DBC的度数是150.
8.如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，
AB=AC，AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
△ABD≌△ACE（SAS）
9.已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,EF垂直平分AD.求证：
∠B=∠FAC
10.已知：
CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且BO=CO．
求证：
O在∠BAC的角平分线上．
提示：
两次三角形全等
▼
（二）思维拓展:
1.等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（B）
A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定
2.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（D）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
3.下列说法：
①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；
③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；
④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有①②③④（把你认为正确的序号填在横线上）
4.若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（D）
（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形
5.如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝（D）
A、1250B、1300C、900D、1200
6.正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ A ）
7.已知△ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=
，CP=2，则△ABC的边长为（B）
（A）
（B）
（C）4（D）
8.如图11，在△ABC中，∠A＝90°
，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：
AE＋AF是一个定值.
证明:
连接AD，易证△BDE≌△ADF（ASA）
思考：
四边形AEDF的面积是否也是定值呢？
为什么？
9.如图以△ABC的边AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE，连BE、CD相交于点F。
（1）△DAC≌△BAE；
（2）BE＝DC；
（3）AF平分∠DFE
10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，EF∥BC，求证：
EC平分∠FED。
利用角度相等即可
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