3.以椭圆+=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.-y2=1 B.y2-=1
C.-=1 D.-=1
解析:
选B.椭圆+=1的焦点为F1(0,1),F2(0,-1),长轴的端点A1(0,2),A2(0,-2),所以对于所求双曲线a=1,c=2,b2=3,焦点在y轴上,双曲线的方程为y2-=1.
4.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
解析:
选D.将方程化为-=1.
5.若点M在双曲线-=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于( )
A.2 B.4
C.8 D.12
解析:
选B.双曲线中a2=16,a=4,2a=8,由双曲线定义知||MF1|-|MF2||=8,又|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.
6.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=________.
解析:
由点F(0,5)可知该双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16.
答案:
16
7.已知双曲线的焦点分别为(0,-2)、(0,2),且经过点P(-3,2),则双曲线的标准方程是________.
解析:
由题知c=2,又点P到(0,-2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a,
2a=|-|=2,∴a=1,∴b2=c2-a2=3.又焦点在y轴上,
∴双曲线的方程为y2-=1.
答案:
y2-=1
8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.
解析:
由题易知,双曲线的右焦点为(4,0),点M的坐标为(3,)或(3,-),则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案:
4
9.求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线过点(3,-4)和(,5).
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
解:
(1)由已知,可设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则
解得
所以双曲线的方程为-=1.
(2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题意知c=2.
因为双曲线过点(3,2),
所以-=1.
又因为a2+b2=
(2)2,
所以a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
10.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
解:
因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(4,-3),
所以-=1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以·=0,即-c2+25=0.
解得c2=25.②
又c2=a2+b2,③
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.
[高考水平训练]
1.已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为( )
A. B.
C. D.
解析:
选C.
不妨设点F1(-3,0),
容易计算得出
|MF1|==,
|MF2|-|MF1|=2.
解得|MF2|=.
而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,
由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,
求得F1到直线F2M的距离d为.
2.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为________.
解析:
由题意可设双曲线方程为
-=1(a>0,b>0).
由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.
根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2得
20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,
所以双曲线方程为-y2=1.
答案:
-y2=1
3.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.求C的圆心轨迹L的方程.
解:
设两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4的圆心分别为F1(-,0),F2(,0),两圆相离,
由题意得||CF1|-|CF2||=4<2=|F1F2|,
从而得动圆的圆心C的轨迹是双曲线,
且a=2,c=,所以b==1,
所求轨迹L的方程为-y2=1.
4.如图,若F1,F2是双曲线-=1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
解:
双曲线的标准方程为-=1,
故a=3,b=4,c==5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|-|PF1||=2a=6,两边平方得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,
∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理得
cos∠F1PF2=
==0,
∴∠F1PF2=90°,
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=×32=16.