二次函数导学案Word格式文档下载.docx
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6.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的
关系式_______________.
7.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
8.已知二次函数y=-x2+bx+3.当x=2时,y=3,求这个二次函数解析式.
9.已知y与x2成正比例,并且当x=-1时,y=-3.求:
(1)函数y与x的函数关系式;
(2)当x=4时,y的值;
(3)当y=-
时,x的值.
10.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
26.1.2二次函数y=ax2的图象与性质
画二次函数y=x2的图象.【提示:
画图象的一般步骤:
①列表(取几组x.y的对应值;
②描点(表中x.y的数值在坐标平面中描点(x,y);
③连线(用平滑曲线).】
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
y=x2
列表:
描点,并连线
图象可得二次函数y=x2的性质:
1.二次函数y=x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y=x2中,二次函数a=_______,抛物线y=x2的图象开口__________.
3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y=x2与它的对称轴的交点(,)叫做抛物线y=x2的___.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_
6.抛物线y=x2有____________点(填“最高”或“最低”).
1.抛物线y=ax2的性质
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a>0
当x=____时,y有最___值,是______.
a<0
当x=____时,y有最____值,是______.
2.抛物线y=x2与y=-x2关于________对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2
关于_______对称,开口大小______.
3.当a>0时,a越大,抛物线的开口越___________;
当a<0时,|a|越大,抛物线的
开口越_________;
因此,|a|越大,抛物线的开口越________,
反之,|a|越小,抛物线的开口越________.
有最高或低点
y=
x2
当x=____时,y有最_____值,是______.
y=-8x2
1填表:
2.若二次函数y=ax2的图象过点(1,-2),则a的值是___________.
3.二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则m____________.
4.如图,①y=ax2②y=bx2③y=cx2④y=dx2比较a.b.c.d的大小,用“>”连接.__________
5.函数y=
x2的图象开口向_______,顶点是_____,对称轴是____,当x=____时,
有最___值是_____.
6.二次函数y=mx
有最低点,则m=_____.
7.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为_____.
8.写出一个过点(1,2)的函数表达式_________________.
26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
例题:
画出函数y=-
(x+1)2-1的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.
-4
y=-
(x+1)2-1
由图象归纳:
1.函数
增减性
2.把抛物线y=-
x2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,
就得到抛物线y=-
(x+1)2-1.
知识点
y=ax2
y=a(x-h)2+k
增减性(对称轴右侧)
2.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状___________,
位置________________.
练习:
1.y=6x2+3与y=6(x-1)2+10_____________相同,而____________不同.
2.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=
x2相同的解析式为()
A.y=
(x-2)2+3B.y=
(x+2)2-3
C.y=
(x+2)2+3D.y=-
(x+2)2+3
3.二次函数y=(x-1)2+2的最小值为__________________.
4.将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的
解析式为____________.
5.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且x=1时,y=-3,求a.k的值.
6.若抛物线y=a(x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标
为______________.
7.抛物线y=-3(x+4)2+1中,当x=_______时,y有最________值是________.
8.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示()
ABCD
9.将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为______________.
26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象
1.求二次函数y=
x2-6x+21的顶点坐标与对称轴.
2.画二次函数y=
x2-6x+21的图象.(解:
x2-6x+21配成顶点式为_______________________.)
4
5
6
7
8
9
x2-6x+21
3.用配方法求抛物线ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
增减性(对称轴左侧)
1.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
2.用两种方法求二次函数y=3x2+2x的顶点坐标.
3.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=________,c=_________.
4.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当________时,y随x的增大而增大;
当x=________时,y有______值是_____.
5.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y=
x2-2-1的顶点坐标.
6.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.
二次函数y=ax2+bx+c的性质
例题:
1.求二次函数y=x2+3x-4与y轴的交点坐标为_______________,与x轴的交点坐标____________.
2.二次函数y=x2+3x-4的顶点坐标为______________,对称轴为______________.
3.一元二次方程x2+3x-4=0的根的判别式△=______________.
4.二次函数y=x2+bx过点(1,4),则b=________________.
5.一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0),△>0时,一元二次方程有_______________,
△=0时,一元二次方程有___________,△<0时,一元二次方程_______________.
知识点应用
1.求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点(含y=0时,则在函数值y=0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标).
例1求y=x2-2x-3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点(含x=0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标).
例2求抛物线y=x2-2x-3与y轴交点坐标.3.a.b.c以及△=b2-4ac对图象的影响.
(1)a决定:
开口方向.形状
(2)c决定与y轴的交点为(0,c)
(3)b与-
共同决定b的正负性(4)△=b2-4ac
例3如图,由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△______0
例4已知二次函数y=x2+kx+9.
1当k为何值时,对称轴为y轴;
②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点;
③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
1.求抛物线y=2x2-7x-15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.
2.抛物线y=4x2-2x+m的顶点在x轴上,则m=__________.
3.如图:
由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△=b2-4ac______0
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
基本练习
1.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(1,2),则m的值为________________.
2.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____________________.
3.将抛物线y=-(x-1)2+3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为___________.
4.抛物线的形状.开口方向都与抛物线y=-
x2相同,顶点在(1,-2),则抛物线的解析式为_______________.
例1已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3),求抛物线的解析式.
例2已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.
例3已知抛物线与x轴的两交点为(-1,0)和(3,0),且过点(2,-3).求抛物线的解析式.
归纳:
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:
1.已知抛物线过三点,设一般式为y=ax2+bx+c.
2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y=a(x-h)2+k.
3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),
设两根式:
y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)
1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求这个二次函数的解析式.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.
4.如图,在△ABC中,∠B=90°
AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P.Q分别从A.B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?
写出函数关系式及t的取值范围.
26.2用函数观点看一元二次方程
1.问题:
如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°
角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间具有关系h=20t-5t2.
考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m?
如能,需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m?
为什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
2.观察图象:
(1)二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有____个交点,
则一元二次方程x2+x-2=0的根的判别式△_______0;
(2)二次函数y=x2-6x+9的图像与x轴有___个交点,
则一元二次方程x2-6x+9=0的根的判别式△_____0;
(3)二次函数y=x2-x+1的图象与x轴________公共点,
则一元二次方程x2-x+1=0的根的判别式△_______0.
1.已知二次函数y=-x2+4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程-x2+4x=3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值.
一般地:
已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m.反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m的自变量x的值.
2.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的位置关系:
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式
△=b2-4ac.
(1)当△=b2-4ac>0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;
(2)当△=b2-4ac=0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点;
(3)当△=b2-4ac<0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.
1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y=________;
当y=0时,x=_______.
2.二次函数y=x2-4x+6,当x=________时,y=3.
3.如图,一元二次方程ax2+bx+c=0的解为________________
4.如图一元二次方程ax2+bx+c=3的解为_________________
5.如图填空
(1)a________0
(2)b________0
(3)c________0(4)b2-4ac________0
6.特殊代数式求值:
①如图看图填空:
(1)a+b+c_______0
(2)a-b+c_______0
(3)2a-b_______0
②如图2a+b_______04a+2b+c_______0
7.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
(1)方程ax2+bx+c=0的根为___________;
(2)方程ax2+bx+c=-3的根为__________;
(3)方程ax2+bx+c=-4的根为__________;
(4)不等式ax2+bx+c>0的解集为________;
(5)不等式ax2+bx+c<0的解集为________;
(6)不等式-4<ax2+bx+c<0的解集为________.
检测
1.根据图象填空:
(1)a_____0;
(2)b_____0;
(3)c______0;
(4)△=b2-4ac_____0;
(5)a+b+c_____0;
(6)a-b+c_____0;
(7)2a+b_____0;
(8)方程ax2+bx+c=0的根为__________;
(9)当y>0时,x的范围为___________;
(10)当y<0时,x的范围为___________;
2.已知抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上,则k=____________.
3.已知抛物线y=kx2+2x-1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.
4.已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是()
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
5.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:
①ac<0;
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;
③a+b+c>0;
④当x>1时,y随x的增大而增大.正确的说法有__________________(把正确的序号都填在横线上).
26.3实际问题与二次函数
1.商品价格调整问题
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;
每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢?
解:
(1)设每件涨价x元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润为y元.
(2)设每件降价x元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件.
训练
1.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月份)与市场售价P(元/千克)的关系如下表:
上市时间x/(月份)
市场售价P(元/千克)
10.5
7.5
4.5
这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).
(1)写出上表中表示的市场售价P(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式;
(2)若图中抛物线过A.B.C三点,写出抛物线对应的函数关系式;
(3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大?
最大值为多少?
(收益=市场售价-种植成本)
2.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:
(1)房间每天入住量y(间)关于x(元)的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式;
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,
w有最大值?
最大值是多少?
2.(解决桥洞水面宽度问题)
例题.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y=ax2+c的形式,请根据所给的数据求出a.c的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?
请说说你的理由.
1.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4
米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4
米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处?
2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,
水CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急通知:
前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:
如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?
若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
3.最大利润问题
例题.
1.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
每涨价1元,每星期少卖出10件;
每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
2.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件。
①若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
②若每件衬衫降价x元时,商场平均每天盈利y元,写出y与x的函数关系式。
练习.
1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;
(不要求写自变量的取值范围)
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天