北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编：立体几何.doc
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北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
A.B．C.D.
【答案】B
【解析】
根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥
其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。
且,，,,,,底面梯形的面积为，,,,侧面三角形中的高，
所以，所以该几何体的总面积为，选B.
2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。
选C.
3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．
【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。
棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。
4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的
表面积是
A.B.
C.D.
【答案】D
5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是
（A）（B）（C）1（D）2
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A.
6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.
【答案】
【解析】取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则⊥D．若，则
【答案】C
【解析】C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.
9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】由三视图可知该四面体为,其中,,,.所以六条棱中，最大的为或者.,所以，此时。
所以，所以棱长最大的为，选C.
10.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。
三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.
11、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）
A．B．C．D．正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
2
2
3
2
3
1
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
二、解答题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？
若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】解：
（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
（II）证明：
由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
（III）解法一：
在线段上存在点，使.理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以………………………………………………………….13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得……………………………………………14分
解法二：
由且底面是正方形，如图，
建立空间直角坐标系
由已知设，
则
设为线段上一点，且，则
…………………………..12分
由题意，若线段上存在点，使，则，.
所以，，
故在线段上存在点，使，且……………………14分
2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在长方体中，，点在棱上，且．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？
若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．
【答案】证明：
（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以．……………………2分
在矩形中，因为，
所以．
所以面．…………………………4分
（Ⅱ）如图，在长方体中，以为原点建立空间直角坐标系．
依题意可知，，，
设的长为，则，
．
假设在棱上存在点，使得∥平面．
设点，则，
．
易知．
设平面的一个法向量为，
则，即．………………………………………………7分
令得，，所以．
因为∥平面，等价于且平面．
得，所以．
所以，，所以的长为．………………………………9分
（Ⅲ）因为∥，且点，
所以平面、平面与面是同一个平面．
由（Ⅰ）可知，面，
所以是平面的一个法向量．………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的长为．…………………………………………………………14分
3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】如图，在菱形中，，是的中点，⊥平面，且在矩形中，，A
B
C
D
E
N
M
．
（Ⅰ）求证：
⊥；
（Ⅱ）求证：
//平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
【答案】解：
（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
F
A
B
C
D
E
N
M
y
x
z
因为，
所以平面.……………………2分
又因为平面，
所以.……………………4分
（Ⅱ）与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点.
因为是的中点，
所以.…………………………7分
又平面，
平面，
所以平面.……………………………………………………………9分
（Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得.
如图建立空间直角坐标系，则，,，
.
，.…………………………………………10分
设平面的法向量为.
则
所以
令.所以.……………………………………12分
又平面的法向量，
所以.
所以二面角的大小是60°.………………………………………14分
4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】
在长方体中，，，为中点.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？
若存在，求的长；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）证明：
连接
∵是长方体，
∴平面，
又平面
∴………………1分
在长方形中，
∴………………2分
又
∴平面，………………3分而平面
∴………………4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量为，则
令，则………………7分
………………9分
所以与平面所成角的正弦值为………………10分
（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.
设的坐标为，则因为∥平面
所以，即，，解得，………………13分
所以在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.……14分
5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.
（Ⅰ）求证：
DE‖平面PBC;
（Ⅱ）求证：
ABPE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.
【答案】解：
（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，
_
E
_
D
_
B
_
C
_
A
_
P
\DE//BC．
DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，
\DE//平面PBC．…………………………4分
（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
PDAB．…………………………….5分
，BCAB，
DEAB．.................................................................6分
又，
AB平面PDE．................................................8分
PEÌ平面PDE，
ABPE．......................................................9分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，
PD平面ABC．............................................10分
_
E
_
D
_
B
_
C
_
A
_
P
z
y
x
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B（1,0,0），P（0,0,），E（0,,0）,
=（1,0,），=（0,,）．
设平面PBE的法向量，
令
得．........11分
DE平面PAB，
平面PAB的法向量为．…………...................12分
设二面角的大小为，
由图知，，
所以即二面角的大小为．.........
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