初高中数学衔接内容.doc
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初高中数学衔接教材
专题一数与式的运算
1.1绝对值
1.2乘法公式
1.3二次根式
1.4分式
专题二分解因式
专题三一元二次方程
专题四函数
4.1平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
4.2二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
4.3.二次函数的三种表示方式
4.4二次函数的简单应用
专题五方程与不等式
5.1二元二次方程组解法
5.2一元二次不等式解法
专题六相似形
6.1.平行线分线段成比例定理
6.2相似形
专题七三角形的“四心”
专题八圆
8.1直线与圆,圆与圆的位置关系
8.2点的轨迹
专题一数与式的运算
1.1绝对值
【要点回顾】
1.绝对值
[1]绝对值的代数意义:
.即.
[2]绝对值的几何意义:
的距离.
[3]两个数的差的绝对值的几何意义:
表示的距离.
[4]两个绝对值不等式:
;..
【例题选讲】
例1解下列不等式:
(1)
(2)>4
练习
1.填空:
(1)若,则x=_________;若,则x=_________.
(2)如果,且,则b=________;若,则c=________.
2.选择题:
下列叙述正确的是()
(A)若,则(B)若,则
(C)若,则(D)若,则
3.化简:
|x-5|-|2x-13|(x>5).
4、解答题:
已知,求的值.
1.2.乘法公式
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
[1]平方差公式:
;
[2]完全平方和公式:
;
[3]完全平方差公式:
.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
[公式1]
[公式2](立方和公式)
[公式3](立方差公式)
【例题选讲】
例1计算:
(1)
(2)
(3)(4)
例2已知,,求的值.
练习1.填空:
(1)();
(2);
(3).
2.选择题:
(1)若是一个完全平方式,则等于()
(A)(B)(C)(D)
(2)不论,为何实数,的值()
(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数
1.3.二次根式
[1]式子叫做二次根式,其性质如下:
(1);
(2);(3);(4).
[2]平方根与算术平方根的概念:
叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根.
[3]立方根的概念:
叫做的立方根,记为
例1.将下列式子化为最简二次根式:
(1);
(2);(3)(4)
例2计算:
(1)
(2)
(3) (4)
例3 化简:
(1);
(2)
练习1.填空:
(1)若,则的取值范围是_____;
(3)_____;
(4)若,则________.
2.选择题:
等式成立的条件是( )
(A) (B) (C) (D)
3、若,求的值
4、解答:
设,求代数式的值
1.4.分式
[1]分式的意义形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当时,分式具有下列性质:
(1);
(2).
[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,
[3]分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
例1 若,求常数的值.
例2
(1)试证:
(其中n是正整数);
(2)计算:
;
(3)证明:
对任意大于1的正整数n,有.
例3 设,且e>1,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.
练习
1.填空题:
对任意的正整数n,();
2.选择题:
若,则= ( )
(A)1(B) (C) (D)
3.正数满足,求的值.
4.计算.
专题检测
(一)
1.解不等式:
(1);
(2);
(3).
2.填空:
(1)=________;
(2)若,则的取值范围是________;
(3)________.
(4),,则________;
(5)若,则____;
3.选择题:
(1)若,则 ( )
(A)(B) (C) (D)
(2)计算等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.求值
(1)已知,求的值.
(2)已知:
,求的值.
5.解方程.
6.计算:
.
7.试证:
对任意的正整数n,有<.
专题二因式分解
【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
1.公式法
常用的乘法公式:
[1]平方差公式:
;
[2]完全平方和公式:
;
[3]完全平方差公式:
.
[4]
[5](立方和公式)
[6](立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进行因式分解.
2.分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
常见题型:
(1)分组后能提取公因式
(2)分组后能直接运用公式
3.十字相乘法
(1)型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
①二次项系数是1;②常数项是两个数之积;③一次项系数是常数项的两个因数之和.
∵,
∴
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
(2)一般二次三项式型的因式分解
由我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
4.其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法:
(1)配方法
(2)拆、添项法
【例题选讲】
例分解因式:
(1)
(2)(3);
(4).(5)(6)
(7)(8)(9)
(10) (11)(12)
练习
1.分解因式:
(1);
(2);
(3); (4).
(5);(6);
(7);(8).
3.三边,,满足,试判定的形状.
4.分解因式:
x2+x-(a2-a).
专题三一元二次方程
【要点回顾】
1.一元二次方程的根的判断式
一元二次方程,用配方法将其变形为:
.
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把叫做一元二次方程的根的判别式,表示为:
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有
[1]当Δ0时,方程有两个不相等的实数根:
;
[2]当Δ0时,方程有两个相等的实数根:
;
[3]当Δ0时,方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
定理:
如果一元二次方程的两个根为,那么:
说明:
一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知
x1+x2=-p,x1·x2=q,即p=-(x1+x2),q=x1·x2,
所以,方程x2+px+q=0可化为x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.因此有
以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
【例题选讲】
例1