函数的奇偶性、对称性、周期试题.doc

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2．定义在上的函数满足．当时，,当时，，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】

试题分析：

根据可知：

是周期为的周期函数，且，

，所以答案为A．

考点：

1．函数的周期性；2．利用函数的周期性求函数值．

3．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设，则下列结论中正确的是

A．关于对称

B．关于对称

C．关于对称

D．关于对称

【答案】C

【解析】

试题分析：

因为函数是奇函数，所以是偶函数，即与均为偶函数，其图象均关于对称，所以与的图象都关于直线对称，即的图象关于直线对称，故选C．

考点：

1．函数的奇偶性；2．图象平移．

4．定义为R上的函数满足，，=2，则=（）

A．3B．C．D．2

【答案】D

【解析】试题解析：

∵；

∴

∴

考点：

本题考查函数的性质

点评：

解决本题的关键是求出函数的周期

5．已知函数满足．当时，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

试题分析：

由，从而，故的周期为6，

考点：

函数的性质

6．设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是（）.

A.偶函数，但不是周期函数B.偶函数，又是周期函数

C.奇函数，但不是周期函数D.奇函数，又是周期函数

【答案】D

【解析】

试题分析：

∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．∴f（20+x）=-f（40+x），结合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；

又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．∴f（x）是奇函数．故选：

D

考点：

本题考查函数的奇偶性，周期性

点评：

解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形，即满足f（x+T）=f（x），则f（x）是周期函数，

函数的奇偶性，则考虑f（x）与f（-x）的关系

7．设f（x）定义R上奇函数，且y＝f（x）图象关于直线x＝对称，则f（－）＝（）

A．－1B．1C．0D．2

【答案】C

【解析】

试题分析：

由题意可得，，所以，选C.

考点：

函数的奇偶性及对称性.

8．已知在上是奇函数,且满足,当时,,则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

，根据周期函数定义可知是周期为4的周期函数，

，又根据函数是奇函数，可得=，因为，所以.故正确答案为选项A.

考点：

周期函数的定义和性质;奇函数定义和性质.

9．已知定义在上的函数，对任意，都有成立，若函数的图象关于直线对称，则

A．B．C．D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：

由题意得，又有函数的图象关于直线对称，则函数图像关于轴对称，即，还有，得，则，故选A．

考点：

函数的性质．

10．设偶函数对任意都有,且当时，,则（）

A．10B．C．-10D．

【答案】B

【解析】

试题分析：

因为，所以，所以函数是周期为6的周期函数，又，而，故，故选B．

考点：

函数的性质．

11．函数的定义域为,若函数的周期6．当时,，当时，．则（）

A．337B．338C．1678D．2012

【答案】A

【解析】

试题分析：

由已知得，，，，，，故，

335+=．

考点：

函数周期性．

考点：

函数的图象、周期性、对称性．

13．已知函数f（x）在定义域上的值不全为零，若函数f（x+1）的图象关于（1,0）对称，函数f（x+3）的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

试题分析：

∵函数的图象关于对称，∴函数的图象关于对称，令，

∴，即，∴…⑴

令，∵其图象关于直线对称，∴，

即，∴…⑵

由⑴⑵得，，∴…⑶

∴，由⑵得

∴；∴A对；

由⑶，得，即，∴B对；

由⑴得，，又，

∴，∴C对；

若，则，∴，

由⑶得，又，∴，即，与题意矛盾，∴D错.

考点：

函数的图象与图象变化.

15．设是定义在上且以5为周期的奇函数，若则的取值范围是（）.

A、B、C、（0，3）D、

【答案】B

【解析】

试题分析：

由题意，得:

所以，

即，，，.

考点：

函数的奇偶性、周期性.

第II卷（非选择题）

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评卷人

得分

二、填空题（题型注释）

16．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x＋8）＝f（x）＋f（4），且x∈[0,4]时，f（x）＝4－x，则f（2015）的值为________．

【答案】3

【解析】

试题分析：

因为定义在上的偶函数满足对任意，都有，

令，则，故

所以满足对任意，都有，故函数的周期

所以

故答案为3．

考点：

函数的周期性和奇偶性．

18．定义在实数集R上的函数满足，且，现有以下三种叙述：

①8是函数的一个周期；

②的图象关于直线对称；

③是偶函数。

其中正确的序号是.

【答案】①②③

【解析】

试题分析：

由，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由，得的图像关于直线对称；由与，得，即，即函数为偶函数.

考点：

1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.

20．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为.

【答案】4

【解析】

试题分析：

函数的图象关于点对称，∴是R上的奇函数，，

∴，故的周期为4，∴，

∴，

∴.

考点：

函数的对称性、奇偶性、周期性.

21．定义在上的偶函数，且对任意实数都有，当时，，若在区间内，函数有6个零点，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】由得函数的周期为2．

由，得，

分别作出函数，的图象，设,，

要使函数有6个零点，则直线的斜率，

因为，

所以，

即实数的取值范围是．

【命题意图】本题考查函数的性质、函数的零点等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归能力、运算求解能力．

22．已知偶函数的图象关于直线对称，

且时，，则=．

【答案】

【解析】

试题分析：

由偶函数的图象关于直线对称知：

f（1-x）=f（1+x）,所以，故答案为：

。

考点：

函数的奇偶性。

23．定义在上的奇函数满足，且，则

_________．

【答案】

【解析】

试题分析：

由f（x+3）=-f（x），得f（x+6）=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），

即函数f（x）的周期是6．

所以f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=-f（0），f（2015）=f（336×6-1）=f（-1）=-f

（1）=-2．

因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以根据奇函数的性质可知f（0）=0，

所以0+（-2）=-2．

考点：

函数奇偶性的性质．

24．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程，在区间[－8,8]上有四个不同的根，则______.

【答案】-8

【解析】

试题解析：

，即

是一个周期为8的周期函数，又函数是奇函数，所以关于原点对称．

由在上是增函数，可做函数图象示意图如图：

设，因为函数图像关于轴对称，所以函数图像关于对称，

所以

考点：

函数的性质.

25．给出下列命题：

①已知集合M满足，且M中至多有一个偶数，这样的集合M有6个；

②函数，在区间上为减函数，则的取值范围为；

③已知函数，则；

④如果函数的图象关于y轴对称，且，

则当时，；

其中正确的命题的序号是。

【答案】②③

【解析】

试题分析：

①中满足条件的M有11个；②中，在区间上为减函数，则的取值范围为；③中，可得故

；④中为偶函数，当时，

，当时，，故正确的命题的序号是②③.

考点：

集合的概念及函数的应用

【解析】

试题分析：

，所f（x）是周期为2的函数，故①正确；又因为当x∈[-1，1]时，，可知f（x）的图象

由图像可知②正确；由图象可知f（x）=t∈[1，2]，函数在[1，2]上单调递减，所以最大值为5，最小值为4，故③错误；因为x的方程有实根，所以，因为f（x）∈[1，2]，所以∈[0，2]，故m的范围是[0，2]；⑤有图像可知当时，，故⑤错误.

考点：

函数的性质.

27．定义在R上的函数为奇函数，对于下列命题：

①函数满足；②函数图象关于点（1，0）对称；

③函数的图象关于直线对称；④函数的最大值为；

⑤．其中正确的序号为________．

【答案】①②③⑤

【解析】

试题分析：

由得，则，所以的周期为4，则①对，由为奇函数得的图像关于点对称，则②对，由为奇函数得，令得，又，，则③对，由得，故。

考点：

（1）周期函数的定义，

（2）奇函数的定义，（3）赋值法的应用。

28．已知函数的图象的对称中心是（3,-1）,则实数．

【答案】．

【解析】

试题分析：

函数的,函数图像的对称中心是（3,-1），

将函数的表达式化为，所以，所以．

考点：

函数的对称中心．

29．已知函数与的定义域为，有下列5个命题：

①若，则的图象自身关于直线轴对称；

②与的图象关于直线对称；

③函数与的图象关于轴对称；

④为奇函数，且图象关于直线对称，则周期为2；

⑤为偶函数，为奇函数，且，则周期为2。

其中正确命题的序号是。

【答案】①②③④

【解析】

试题分析:

①函数关于直线对称,正确

②函数图像关于直线对称的函数解析式,正确

③把函数中代换得，关于轴对称.

④函数关于原点对称，关于直线对称，周期正确.

⑤关于原点对称，关于直线对称，周期错误

考点：

函数的对称性和周期性.

30．若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：

（1）；

（2）是以4为周期的函数；

（3）；（4）的图像关于直线对称；

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】

试题分析：

①因为是定义在R上的奇函数，所以，则；

②，，即周期为4；

③因为是定义在R上的奇函数，所以，又，；

④因为是定义在R上的奇函数，所以的图像关于直线对称；故选①②③.

考点：

函数的奇偶性、周期性.

评卷人

得分

三、解答题（题型注释）

31．（本小题满分12分）已知函数的图像过点，且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称．

（1）求与的解析式；

（2）若—在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

【答案】

（1），；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）首先把代入函数中得，对任意实数都成立，则有，即，从而得函数的解析式