全国统一高考数学真题及逐题详细解析文科海南卷.doc
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2014年普通高等学校招生全国统一考试
海南数学文科(新课标卷Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.()
A.B.C.D.
3.函数在处导数存在,若,是的极值点,则()
A.是的充分必要条件
B.是的充分条件,但不是的必要条件
C.是的必要条件,但不是的充分条件
D.既不是的充分条件,也不是的必要条件
4.设向量满足,,则()
A.1B.2C.3D.5
5.等差数列的公差为2,若成等比数列,则的前项和()
A.B.C.D.
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()
A.B.C.D.
7.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,D为BC终点,则三棱锥的体积为
(A)3(B)(C)1(D)
8.执行右图程序框图,如果输入的均为2,则输出的()
是
否
A.4B.5C.6D.7
9.设满足的约束条件,则的最大值为()
(A)8(B)7(C)2(D)1
10.设F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为的直线交于C于两点,则
(A)(B)6(C)12(D)
11.若函数在区间单调递增,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
12.设点,若在圆上存在点N,使得,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大概题共4小题,每小题5分。
13.甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
14.函数的最大值为_________.
15.已知偶函数的图像关于直线对称,,则_______.
16.数列满足,,则_________.
三、解答题(本大题共8小题)
17.(12分)
四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(I)求C和BD;
(II)求四边形ABCD的面积.
18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,,E为PD中点.
(I)证明:
PB平面AEC;
(II)设AP=1,,三棱锥P-ABD的体积,求A到平面PBC的距离.
19.(本小题满分12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民。
根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
甲部门
乙部门
3
59
4
4
0448
97
5
122456677789
97665332110
6
011234688
9887776655554443332100
7
00113449
6655200
8
123345
632220
9
011456
10
000
(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数;
(II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率;
(III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。
20.(12分)设分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点是N.
(I)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(II)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
21.(12分)已知函数.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(I)a;
(II)证明:
当时,曲线与直线只有一个交点.
22.(10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,P是外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与相交于点B,C,PC=2PA,D为PC中点,AD的延长线交于点E,证明:
(I)BE=EC
(II)
23.(10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为
.
(I)求C的参数方程
(II)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(I)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
24.(10分)选修4-5:
不等式选讲
设函数.
(I)证明:
(II)若,求a的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.B.
解析:
把-2,0,2代人验证,只有2满足不等式,故选B.
考点:
考查集合的知识,简单题.
2.B.
解析:
故选B.
考点:
考查复数的基本知识,简单题.
3.C.
解析:
极值点必为导函数的根,而导函数的根不一定是极值点,即
从而p是q的必要但不充分的条件
故选C.
考点:
考查充要条件与极值的基础知识,简单题.
4.A.
解析:
故选A.
考点:
考查平面向量的数量积,中等题.
5.A.
解析:
∵数列是等差数列,公差等于2
∴
∵成等比数列
∴
解得
∴
故选A.
考点:
考查等差数列的通项公式与求和公式,中等题.
6.C.
解析:
毛胚的体积
制成品的体积
∴切削掉的体积与毛胚体积之比为:
,故选C.
考点:
考查三视图于空间几何体的体积,中等题.
7.C.
解析:
∵正三棱柱的底面边长为2,D为BC中点
∴
∵
∴
∴.故选C.
考点:
考查空间点,线,面关系和棱锥体积公式,中等题.
8.D.
解析:
第1次循环M=2,S=5,k=1
第2次循环,M=2,S=7,k=2
第3次循环k=3>2,故输出S=7,故选D.
考点:
考查算法的基本知识,简单题.
9.A.
解析:
作图即可.
考点:
考查二元一次不等式组的应用,中等题.
10.C.
解析:
∵
∴抛物线C的焦点的坐标为:
所以直线AB的方程为:
故
从而
∴弦长
故选C.
考点:
考查抛物线的几何性质,弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力,难度为中等题.
11.D.
解析:
在区间上递增
在区间上恒大于等于0,
故选D.
考点:
考查导数与函数单调性的关系.中等题.
12.A.
解析:
设N点的坐标为
(1)当时
∵
∴OM,MN的斜率分别为:
∵
∴
即
取正号时,化简(*)式得:
取负号化简(*)式得:
∴
∴
故且
(2)当时,取,此时满足题设.
(3)当时,取,此时也满足题设.
综上所述,,故选A.
从上面解法可以看到选择N的几个特殊位置观察,即可以猜出答案,这样就可以简化解法.
考点:
考查应用斜率与倾斜角的概念,直线方程,园的方程,分析问题的能力.困难题.
二、填空题
13.
解析:
考点:
考查古典概型的概念.简单题.
14.1
解析:
因为
所以最大值为1.
考点:
考查和差角公式,简单题.
15.3
解析:
因是偶函数,所以,因关于,所以.
考点:
考查偶函数的概念,轴对称的概念.简单题.
16.
解析:
∵,
∴
考点:
考查递推数列的概念,简单题.
三、解答题
17.解析:
(I)
(II)由(I)得,四边形ABCD的面积S=
考点:
考查余弦定理的应用,中等题.
18.解析:
(I)连接EF,因为四边形ABCD是矩形,故F为AC中点,又因为E为PD中点,故EF是△PBD的中位线,从而,故
(II)设AB=a,因
则
所以
过A作AG垂直PB于G.
因为
又因为
所以,又
故
所以AG为点A到面PBC的距离.
因
所以
故点A到面PBC的距离为.
考点:
考查空间点线面的位置关系与空间距离.中等题.
19.解析:
(I)甲部门的得分共50个,50个数字从小到大排列起来位于中间位置的数为第25,第26个数,它们分别是:
75,75,故甲部门得分的中位数是75.
乙部门的得分也是50个数,它们从小到大排列起来的第25,26个数字分别是:
66,68,故乙部门的中为数为.
(II)市民对甲,乙两部门的评分各有n=50个,对甲部门评分高于90分的分数有m=5个,对乙部门的评分高于90分的s=8个,故对甲部门评分高于90分的概率为,对乙部门的评分高于90的概率为.
(III)观察茎叶图的形状,甲的分数在茎6,7处形成单峰,出现在这里面的数据频率为,其中位数为75,乙的分数在茎5,6,7处形成单峰,出现在这个单峰里面的数据频率为,中位数为67.因为>,75>67,这说明市民对甲部门的评价基本在75分附近,对乙部门的评价基本在67分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.
考点:
考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力,中等题.
20.解析:
(I)∵(不妨设M在x轴的上方)
∴M的坐标满足方程组
∵MN的斜率为
∴
∵
又∵
∴椭圆离心率为.
(II)∵MN在y轴上的截距为2,O为的中点
∴M的坐标为(c,4)(不妨设M在x轴的上方)
由(I)得(*)
∵
∴
作于T,由于△∽△,故有
∴,即
把N点的坐标代人椭圆方程得:
∴
把(*)与(**)联立得:
考点:
考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系,难题.
21.解析:
(I)
∵切点为(0,2),切线过点(-2,0)
∴切线的斜率为
∴
(II)由(I)知,,故
记,
∴
∴
(1)当时
由,
∴
∴或
∴在区间上递增,在区间上递减
∴的极小值为
∵
∴
记
由,由
∴
∴在区间递减
∴(∵是减区间)
又∵
∴当时,方程只有一根.
(2)当时,
有,从而在R上递增
∵,
∴当时,方程只有一根.
综上所述,方程在R上只有一根,即曲线直线只有唯一交点.
考点:
考查利用导数综合研究函数性质的能力,难度压轴题.
22.解析:
(I)连接OA,OD交BC于F,设,因PA是的切线,则
∵
∴是等腰三角形
∴
∵
∴故OE平分弧BC,从而BE=EC.
(II)∵
∴
由(I)知
∴
∴
把代人上式,得
∴
考点:
考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.
23.解析:
(I)∵极坐标方程为
∴
∴对应的普通方程为:
,即
∴对应的参数方程为
(II)设半圆的圆心为A,则A(1,0),又由(I)知,可以设D点坐标为
∴直线DA的斜率
∵切线与直线垂直
∴
∴即D点坐标为
考点:
本题考查园的极坐标方