学年高中数学人教A版必修三教学案第三章 第2节 古典概型 Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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②计算公式：
对于古典概型，任何事件的概率为P（A）＝
[问题思考]
（1）若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．
（2）掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足特点（ⅱ）．
（3）“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？
”这个概率模型属于古典概型吗？
不是，因为在区间[0,_10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
（1）基本事件的定义：
；
（2）基本事件的特点：
；
（3）古典概型的定义：
（4）古典概型的计算公式：
.
掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面朝上．
[思考1] 这个试验共有哪几种结果？
基本事件总数有多少？
事件A＝{恰有一次正面朝上}包含哪些试验结果？
名师指津：
共有正正、正反、反正、反反四种结果．基本事件有4个．事件A包含的结果有：
正反、反正．
[思考2] 基本事件有什么特点？
基本事件具有以下特点：
（1）不可能再分为更小的随机事件；
（2）两个基本事件不可能同时发生．
讲一讲
1．先后抛掷3枚均匀的壹分，贰分，伍分硬币．
（1）求试验的基本事件数；
（2）求出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件数．
[尝试解答]
（1）因为抛掷壹分，贰分，伍分硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种．可列表为：
硬币种类
试验结果（共8种）
壹分
正面
反面
贰分
伍分
所以试验基本事件数为8.
（2）从
（1）中表格知，出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3种，即（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）．所以“2枚正面，1枚反面”的基本事件数为3.
基本事件的两个探求方法
（1）列表法：
将基本事件用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．
（2）树状图法：
树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．
练一练
1．从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解：
所求的基本事件共有6个：
即A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，
E＝{b，d}，F＝{c，d}．
观察图形，思考下列问题
[思考1] 某射击运动员随机地向一靶心进行射击，试验的结果有：
命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环（即不命中），你认为这是古典概型吗？
试验的所有结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环（即不命中）的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．
[思考2] 若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？
若一个试验是古典概型，需具备以下两点：
（1）有限性：
首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．
（2）等可能性：
其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．
2．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．
（1）用表中字母列举出所有可能的结果；
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[尝试解答]
（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P（M）＝
＝
（1）古典概型求法步骤
①确定等可能基本事件总数n；
②确定所求事件包含基本事件数m；
③P（A）＝
（2）使用古典概型概率公式应注意
①首先确定是否为古典概型；
②所求事件是什么，包含的基本事件有哪些．
2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：
（1）基本事件总数；
（2）事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？
（3）摸出2个黑球的概率是多少？
由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
（1）将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，其中共有6个基本事件．
（2）事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，黑3）}，共3个基本事件．
（3）基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m＝3，故P＝
3．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．
（1）写出所有不同的结果；
（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
（3）求至少摸出1个黑球的概率．
[思路点拨]
（1）可以利用初中学过的树状图写出；
（2）找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；
（3）找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．
[尝试解答]
（1）用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，
所以P（A）＝
＝0.6，
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
（3）记“至少摸出1个黑球”为事件B，
则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，
所以P（B）＝
＝0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
利用事件间的关系求概率
在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P（A1∪A2∪A3∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P（A）＝1－P（
）（
为A的对立事件）求得．
3．先后掷两枚大小相同的骰子．
（1）求点数之和出现7点的概率；
（2）求出现两个4点的概率；
（3）求点数之和能被3整除的概率．
如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．
（1）记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：
（6,1），（5,2），（4,3），（3,4），（2,5），（1,6）．故P（A）＝
（2）记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即（4,4）．故P（B）＝
（3）记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（3,6），（6,3），（4,5），（5,4），（6,6）．
故P（C）＝
——————————————[课堂归纳·
感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．
2．本节课要掌握以下几类问题：
（1）基本事件的两种探求方法，见讲1.
（2）求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点，见讲2.
（3）利用事件的关系结合古典概型求概率，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
（1）列举基本事件时易漏掉或重复，如讲1；
（2）判断一个事件是否是古典概型易出错．
课下能力提升（十八）
[学业水平达标练]
题组1 基本事件的列举问题
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
解析：
选D 事件A包含的基本事件有6个：
（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）．故选D.
2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对（x，y），x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
①写出这个试验的基本事件；
②求出这个试验的基本事件的总数；
③写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件．
①这个试验的基本事件为（0,1），（0,2），（1,0），（1,2），（2,0），（2,1）．
②基本事件的总数为6.
③“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件：
（2,0），（2,1）．
题组2 简单古典概型的计算
3．下列关于古典概型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）＝
A．②④B．①③④C．①④D．③④
选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
4．下列试验中，属于古典概型的是（ ）
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250mm±
0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
选C 依据古典概型的特点判断，只有C项满足：
②每个基本事件出现的可能性相同．
5．设a是掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
选A 基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根则a2－8＞0，满足上述条件的a为3,4,5,6，故P＝
6．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为（ ）
选A 所有的基本事件是（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共有8个，仅有2次出现正面向上的有：
（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共3个．则所求概率为
7．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
（1）A：
取出的两球都是白球；
（2）B：
取出的两球1个是白球，另1个是红球．
设4个白球的编号为1,2,3,4；
2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15种．
（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法共有6种，为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）．
∴取出的两个球全是白球的概率为P（A）＝
（2）从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括（1,5），（1,6），（2,5），（2,6），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6）共8种．
∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P（B）＝
题组3 较复杂的古典概型的计算
8．某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：
每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为
，停车费多于14元的概率为
，求甲的停车费为6元的概率；
（2）若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
（1）记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P（B）＝
，P（C＋D）＝
又事件A，B，C，D互斥，所以P（A）＝1－
－
所以甲的停车费为6元的概率为
（2）易知甲、乙停车时间的基本事件有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个；
而“停车费之和为28元”的事件有（1,3），（2,2），（3,1），共3个，
所以所求概率为
[能力提升综合练]
1．下列是古典概型的是（ ）
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
选C A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；
B项中的基本事件是无限的，故B不是；
C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；
D项中基本事件可能会是无限个，故D不是．
2．（2015·
广东高考）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4B．0.6
C．0.8D．1
选B 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种结果，分别是（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），恰有一件次品，有6种结果，分别是（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），设事件A＝{恰有一件次品}，则P（A）＝
＝0.6，故选B.
3．（2015·
新课标全国卷Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：
（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），其中勾股数只有（3,4,5），所以概率为
.故选C.
4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）
选D 分类讨论法求解．
个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．
（1）当个位为奇数时，有5×
4＝20个符合条件的两位数．
（2）当个位为偶数时，有5×
5＝25个符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝
5．（2016·
石家庄高一检测）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为
答案：
6．从三男三女共6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于________．
用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：
AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc,2名都是女同学的选法为：
ab，ac，bc，故所求的概率为
7．（2015·
天津高考）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
（1）应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
（2）①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P（A）＝
8．（2014·
山东高考）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
数量
50
150
100
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是
，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×
＝1,150×
＝3,100×
＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；
B1，B2，B3；
C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：
“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P（D）＝
，即这2件商品来自相同地区的概率为
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