高中数学第3章概率32古典概型教学案苏教版Word格式文档下载.docx
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（3）古典概型概率的计算公式：
如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是
；
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝
.
即P（A）＝
古典概型的概率公式P（A）＝
与事件A发生的频率
有本质的区别，其中P（A）＝
是一个定值，且对同一试验的同一事件m，n均为定值，而频率中的m，n均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P（A）．
1．一个家庭中有两个小孩，则所有等可能的基本事件是________．（列举出来）
答案：
（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
2．从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
这些基本事件是等可能基本事件吗？
解：
共有6个基本事件：
A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}．每个基本事件取到的概率都为
，属于等可能基本事件．
古典概型的判定
[典例] 下列概率模型是古典概型吗？
为什么？
（1）从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
（3）从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
[解]
（1）不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
（2）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
（3）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．
[活学活用]
下列随机事件：
①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；
③一只使用中的灯泡寿命长短；
④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
这些事件中，属于古典概型的有________．
解析：
题 号
判 断
原 因 分 析
①
不属于
命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同
②
属于
任选1人与学生的性别无关，仍是等可能的
③
灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能
④
该试验结果只有“正”“反”两种，且机会均等
⑤
该品牌月饼评“优”与“差”的概率不一定相同
放回”与“不放回”问题
②④
[典例] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
（1）若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；
（2）若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
[解]
（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．
事件A由4个基本事件组成．因而P（A）＝
＝
（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．
事件B由4个基本事件组成，因而P（B）＝
抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：
一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对基本事件的总数是有影响的．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．
从1,2,3,4,5五个数字中任意有放回地连续抽取两个数字，求下列事件的概率：
（1）两个数字不同；
（2）两个数字中不含有1和5；
（3）两个数字中恰有一个1.
所有基本事件为（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），共25个．
（1）设A＝“两个数字不同”，则P（A）＝
（2）设B＝“两个数字中不含1和5”，则P（B）＝
建立概率模型解决问题
（3）设C＝“两个数字中恰有一个1”，则P（C）＝
[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
（3）求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．
[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．
a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位
a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位
由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．
（1）设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P（A）＝
（2）设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P（B）＝
（3）设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P（C）＝
对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法．
甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
（1）甲在边上；
（2）甲和乙都在边上；
（3）甲和乙都不在边上．
利用树状图来列举基本事件，如图所示．
由树状图可看出共有24个基本事件．
（1）甲在边上有12种情形：
（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），
（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），
（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲），（丙，乙，丁，甲），
（丙，丁，乙，甲），（丁，乙，丙，甲），（丁，丙，乙，甲）．
故甲在边上的概率为P＝
（2）甲和乙都在边上有4种情形：
（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，丙，乙），
（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲），
故甲和乙都在边上的概率为P＝
（3）甲和乙都不在边上有4种情形：
（丙，甲，乙，丁），（丙，乙，甲，丁），
（丁，甲，乙，丙），（丁，乙，甲，丙），
故甲和乙都不在边上的概率为P＝
古典概型的综合应用
[典例] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解]
（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是
，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×
＝1,150×
＝3,100×
＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；
B1，B2，B3；
C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：
“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}共4个．所以P（D）＝
即这2件商品来自相同地区的概率为
（1）概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算．
（2）涉及方程或者函数的有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件A所包含的基本事件的个数，通常需要将函数与方程的知识应用其中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的范围，从而确定基本事件的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组
解的情况，解答下列各题：
（1）求方程组只有一个解的概率；
（2）求方程组只有正数解的概率．
若第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b记为有序数值组（a，b），则所有可能出现的结果有：
（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6），
（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6），
（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6），
（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6），
（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6），
（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6），
共36种．
由方程组
可得
（1）若方程组只有一个解，则b≠2a，满足b＝2a的有（1,2），（2,4），（3,6），故适合b≠2a的有36－3＝33个．
其概率为：
（2）方程组只有正数解，需满足b－2a≠0且
分两种情况：
当2a＞b时，得
当2a＜b时，得
易得包含的基本事件有13个：
（2,1），（3,1），（4,1），（5,1），（6,1），（2,2），（3,2），（4,2），（5,2），（6,2），（1,4），（1,5），（1,6），因此所求的概率p2＝
[层级一 学业水平达标]
1．一枚硬币连续掷三次，基本事件共有________个．
画树形图：
共8种．
8
2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．
本题中基本事件有{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为
3．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为________．
基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共15个．
其中符合要求的有{1,2}，{1,4}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共12个．
故P＝
4．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是________．
这四个球记为白1，白2，黑1，黑2.
则基本事件为{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{黑1，黑2}共6个．
其中符合要求的为{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}共4个．故P＝
5．设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P⊆Q，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}．
（1）求b＝c的概率；
（2）求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
（1）因为P⊆Q，当b＝2时，c＝3,4,5,6,7,8,9；
当b＞2时，b＝c＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b＝c的事件数为7种，所以b＝c的概率为：
（2）记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4,5,6,7,8,9共6种.
所以P（A）＝
[层级二 应试能力达标]
1．同时掷两枚骰子，点数之和大于9的概率为________．
P＝
2．某班委会由3名男生和2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一个女生当选的概率为________．
这五名同学分别表示为男1，男2，男3，女1，女2，用（x，y）表示基本事件，其中x是正班长，y是副班长，则基本事件为
（男1，男2），（男2，男1），（男1，男3），（男3，男1），（男1，女1），（女1，男1），（男1，女2），（女2，男1），（男2，男3），（男3，男2），（男2，女1），（女1，男2），（男2，女2），（女2，男2），（男3，女1），（女1，男3），（男3，女2），（女2，男3），（女1，女2），（女2，女1）共20个．
其中符合要求的有14个，故P＝
3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．
如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．
基本事件为（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）共10个．其中勾股数只有（3,4,5），∴P＝
5．一个袋子中装有六个形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3，现从中任取一球记下编号后放回，再任取一球，则两次取出球的编号之和为4的概率为________．
用列表法列出所有基本事件共36个，其中和为4的有10个.
6．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，则甲站在乙的左边的概率为________．
我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为
7．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：
（1,2），（1,3），（1，a），（1，b），（2,3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝
8.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为________．
只考虑A，B两个方格的填法，不考虑大小，A，B两个方格有16种填法．要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有（4,3），（4,2），（4,1），（3,2），（3,1），（2,1），共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为
9．一个盒子中装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
由题意知（a，b，c）所有可能的结果为（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3），（1,2,1），（1,2,2），（1,2,3），（1,3,1），（1,3,2），（1,3,3），（2,1,1），（2,1,2），（2,1,3），（2,2,1），（2,2,2），（2,2,3），（2,3,1），（2,3,2），（2,3,3），（3,1,1），（3,1,2），（3,1,3），（3,2,1），（3,2,2），（3,2,3），（3,3,1），（3,3,2），（3,3,3）共27种．
（1）设A＝“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”，则A包含3个结果．故P（A）＝
（2）设B＝“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”，则事件B包含24种结果．故P（B）＝
10．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4,则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
（x,y,z）
（1,1,2）
（2,1,1）
（2,2,2）
（1,1,1）
（1,2,1）
A6
A7
A8
A9
A10
（1,2,2）
（2,2,1）
（2,1,2）
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
（1）计算10件产品的综合指标S，如下表：
S
4
6
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为
＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P（B）＝
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