考研讲座18高数线代复习导引文档格式.docx
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基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画“联络图”。
每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。
先默写出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。
再回顾主要定理证明——关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。
哪些可以收编为练习。
条件能否削弱，有无相应反例。
在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。
有没有重要算法与公式。
如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，……。
这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。
记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。
当然要做题。
有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。
演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。
剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。
把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。
进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。
逐渐形成用“猎奇”的眼光去挑选典型题目的能力
数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个“材料库”。
尽可能熟悉课程讨论的基本对象。
就如我将在讲解时（微积分部分）推荐的，“三个典型的（极限）不存在”，“x趋于+∞时，指数函数，幂函数，对数函数的无穷大阶数比较。
”“三个典型的不可导”，“四个典型的不可积”，……，等等。
概念记得越准确，观察判断的眼光越犀利。
基本定理，基本方法记得越清晰，分析题目时方向越明白。
当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是……”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
讲座
（2）笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。
”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。
考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。
动笔的时间很少。
数学书不比小说。
看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。
求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。
你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或“依据已知条件，我首先能得到什么？
”（分析法）；
或“要证明这个结论，就是要证明什么？
”（综合法）。
在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。
下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样？
”
写成“连续A+不连续B=？
”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。
（穷尽法）。
如果，“连续A+不连续B=连续C”
则
“连续C-连续A=不连续B”
这与定理矛盾。
所以有结论：
连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。
能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。
比如，
题面上有已知条件
f′
（1）>
0
，概念深，写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时，lim（f（1+h）-f
（1））/h>
0
然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。
而写不出的人就抓瞎了
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα，α≠0，要是移项写成
（A-λE）α=0，α≠0，
这就表示α是齐次线性方程组（A-λE）X=0的非零解，进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是“发散性”。
一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。
望山跑死马。
思考一步写一步，观测分析迈下步。
路只能一步步走。
陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。
求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。
好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。
对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。
掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。
要考研吗，要去听指导课吗，最好先自己动笔，尽可能地把基本计算练一练。
经济类考生还格外有个“短板”。
就是不熟悉《解析几何》。
要先下点功夫，做到能熟练地建立平面直角坐标系下的直线方程（点斜式，两点式），求两条直线的交点，随意能画出基本初等函数的图形等等。
我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。
在限定的考试时间内作某年研考的全巻。
中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。
看看成绩多少。
不要以为你已经看过这些试卷了。
就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。
讲座（3）拓扑预备说质变
高等微积分（《数学分析》）的第一章，讲实数的完备性。
即全体实数与数轴上的点成功一一对应。
于是我们从此“点”“数”不分。
数轴的一段称为区间。
区间是特殊的数集。
为了方便起见，通常也把半直线说成区间。
记数轴的右端趋向为+∞（正无穷大），左端趋向为−∞（负无穷大）。
有的数学分支虚拟了一个∞点，把直线说成是半径无穷大的园。
+∞与−∞则是这个虚拟点的两侧。
不含端点的区间叫开区间。
以点x0为中心的开区间称为x0的邻域。
历史上约定，说“在点x0的邻近，……”，就是指“在点x0的某个邻域内，……”。
（画外音：
开区间的拓扑定义是，开区间任意一点，总有至少一个邻域，全含于这个开区间内。
）
一元微积分的拓扑基础是区间。
建立在区间基础上的积分叫“黎曼积分”。
自然数集与区间都是含有无穷个数的数集，但两者也有差别。
从有限到无穷，这是质变。
只含有限个数的数集，一定有最大及最小的数，而无穷集则不一定。
比如自然数集有最小值而没有最大值。
数集（0，1）则既没有最小值，也没有最大值。
两个有限集相比时，一定可以分出，谁含有的数较多。
而无限集之间不能这样比。
只能看两个无限集是否能建立一一对应关系。
如果两个无限集之间能建立一一对应，则称这两个数集属于同一级别。
（专业词：
有同样的“势”。
）相当于说这两个数集所含有的数“一样多”，
很有趣也很哲学的是，通过对应2n→n，“偶自然数集”可以与“自然数集”建立一一对应。
即它们属于同一级别。
这表明，无限集的真子集可以与全集建立一一对应，而有限集显然不行。
能与自然数集建立一一对应的无限集，称为可列集。
可列集中的全体数，可以与自然数对应排成一个“序列”：
x1，x2，……，x
n
，……
每个不可列的无限集，都一定能与数集（0，1）建立一一对应。
这样一来，从含有数的“多少”意义来看，只有两类无限集。
可列集或不可列集。
最令人吃惊的是，尽管有理数具有稠密性，即任意两个实数之间必定至少有一个有理数，但是全体有理数是一个可列集。
实轴上几乎全是无理数。
（画外音：
一个小数学实验——可列集的“测度”
让我们用一个个小区间来顺次“包装”可列集的点。
第1个小区间长δ/2，装入x1，第2个小区间长δ/4，装入x2，第3个小区间长δ/8，装入x3，……，第n个小区间长δ/（2的n次方，装入xn，……，按照一一对应方式，将可列集的点全体点，装入了可列个小区间内。
各个小区间的长，顺次组成公比为1/2的无穷递缩等比数列，因而可以算得这可列个小区间的总长为δ，由于δ可以取成任意小的正数，因而这个实验说明了，把一个可列集的点“挤”着排起来，也不会在数轴上占有长度。
用数学专业用语说，可列集的“测度”为0，所以实轴上几乎全是无理数。
讲座（4）函数讨论先“微观”
微分学研究函数。
函数是描述过程的最简单的数学模型。
定义——任给定义域内一点x，通过某一对应规律，有唯一确定的y值与之对应，就称变量y是变量x的函数。
记为y=f（x）
所谓“对应规律”，可能是解析表达式，这是我们所常见的。
可能是一句话显示的规定。
例如，绝对值函数y=|x|，取整函数y=[x]，（y=不超过x的最大整数）
也可能是表格等方式，……，在高数学习过程中，还有含参极限，变上限积分，级数等方式。
定义中的“唯一确定”，排斥了多值情形，有利于讨论反函数。
美国，台湾的微积分教材都不出现反三角函数。
由于三角函数是周期函数，反三角函数需要选定对应区间，以保证反三角函数值能“唯一确定”。
其中，
y=arcsinx
，−1≤x≤1
，−π/2≤y≤π/2
y=arctgx
，x可为任意实数，−π/2≤y≤π/2
记法“y=f（x）”有双重含义。
理解x为定义域内任意一点，它表示这个函数。
理解x为定义域内一点（相对不变），它表示相应的函数值。
在函数概念的深化讨论中，常常用到后一理解。
我们早已接触了六类基本初等函数——常函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
圈内戏称为“反，对，幂，指，三”。
不如直接记两对加一“幂”。
初等函数——由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。
这个定义有可能使得函数的定义域是一个可列集。
比如，y=√（cos²
x−1），一般教材上会说，我们所讨论的函数，其定义域是区间或区间的并。
大学数学还让学生学习两类“分段函数”。
或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；
或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点，是先做微观分析。
即讨论函数的连续性，可导性，可微性。
再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。
即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。
所谓“微观分析”，即是任取一点x0，讨论及描述函数的相对变化。
选定一个中心点x0，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；
从物理角度说，是给定一个初始点；
从观察角度议，是选好一个边际点。
把动点x在x0邻近变动称为“自变量x（在x0处）获得增量Δx”。
（潜台词：
关键词“增量”，既是一个词，又是一种新的思维方式。
微量分析考虑的问题是：
在x0点邻近，如果自变量x有一个增量Δx，则函数相应该有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）
鉴于函数的任意性与复杂性，“减号”只能表示事实，没有一般的计算意义。
我们如何表述，研究或估计这个Δy呢？
第一考虑自然是变化关系。
当Δx→0时，Δy会有什么变化趋势呢？
三种可能，Δy或趋于0，或不趋于0，或没有一定的趋向。
如果Δx→0时，必有Δy→0，就称函数在x0点连续。
第二考虑是“变化率”。
中国人把除法称为“归一法”。
无论Δx的绝对值是多少，商式Δy/Δx的含义总是，“当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。
”
有了极限观念，自然会考虑，当Δx→0时，函数的平均变化率Δy/Δx有什么变化趋势呢？
两种可能，或者极限存在，或不存在。
如果Δx→0时，Δy/Δx有极限，就称函数在点x0可导。
称极限值为函数在点x0的导数。
请看看，“连续”与“可导”的概念，出现得多么自然啊。
这理的关键是极限观念。
我们中国人在极限问题上先天不足。
学了微积分，知道从有限到无穷是质变。
牵涉“无穷”的问题都得用极限工具。
形成一点极限思维，那就是很大的收获。
函数在区间上每一点连续，就称函数在区间上连续。
函数在区间上每一点可导，就称函数在区间上可导。
所产生的对应关系称为该函数的导函数。
微积分以中值定理为“桥粱”，用导函数讨论函数的宏观特征。
这是一元微分学的基本目的。
因此，可导性讨论与导数计算是第一基础。
考研复习《高数》的第一任务，是基本上理解导数定义并能作简单的定义讨论，最重要的是能熟练地求各类函数的导数。
导数定义作用于基本初等函数，生成一套有序的求导公式。
伴随着初等函数的结构顺序，《高等数学》建立了“和，差，积，商函数求导法则”与处理复合函数的“链锁法则”。
进而还有“取对数求导法”，“用参数式表述的函数求导法”，“隐函数求导法”，“分段函数求导法”，……，等等。
一切函数皆可讨论可导性，计算导数。
练习求导，实在可行。
娴熟地计算与讨论导数，是讨论函数宏观特征，乃至比较与估计定积分的前提与手段。
导数好，则心有灵兮一点通，求不定积分，解微分方程，……，必定是处处反应特好。
要先练完教材上的求导练习，再买本《高等数学》习题集，做完全部求导题。
练！
让你明年开春复习提高时，运算障碍最少。
回忆一下吧。
小时候，九九表你背了用了多少年？
！
初中时，有理数运算算了多少年？
中学里，代数式运算你又算了多少年？
而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？
自己就明白高数差的基本原因之所在了。
）
讲座（5）极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。
极限首先是个观念。
面对“没完没了”的过程，用什么方法去准确描述与讨论变量的发展趣势？
自然是极限。
只能是极限。
说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。
近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；
用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。
他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。
国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。
而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。
极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类，一类是x→x0
；
一类是x→∞
讨论x→x0
的情形，通常设x不会取到x0，这样一来，你可以体验到，x→x0
的过程，和x→∞一样“没完没了”。
无论哪一种情形，我们都不会考虑x从何处出发，也不会考虑x具体如何趋于x0或趋向无穷。
是蛙跳般不停不息，或是左右左右摇摇摆摆，还是连续地一步一趋？
如果真的选择连续地一步一趋方式，对x0来说只有从左侧或右侧两种逼近方式。
对x→∞而言，则有直接向+∞或直接向−∞两种趋向。
通常称这为“两条道路”，其它形式统称为“子路径”。
“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？
”如果是，则称数a为函数的极限。
“无限接近”还不是严密的数学语言。
但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。
学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。
学习体验相应的发展趋势。
其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。
按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
我们早有经验，“若分子不变，而分母的绝对值越来越大，则分数的绝对值只会越来越小。
”由此即可以体验到，
自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；
x趋于无穷时，函数1/x的极限为0；
进而得到第一个求极限的方法：
“x→∞，要考查一个有理分式函数（即：
多项式/多项式）的变化趋势，将分子分母同除以分式中出现的x最高次方。
再分别观察各项。
我称之为“化零项法”处理∞/∞型未定式。
回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。
x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。
底数大于0而小于1的指数函数则无限接近于0
x→0+时，对数函数lnx趋于-∞；
x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。
x→∞时，正弦sinx与余弦cosx都周而复始，没有极限。
在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”y=sin（1/x）。
当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。
你体验过它的震荡吗？
？
具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而中间变元u=1/x的跨步却长达900个单位，正弦sinu相应完成了140多个周期。
函数的图形在+1与-1之间上下波动140多次。
你可以进一步体验下去，想想在x=0的邻近，函数各周期的图形是多么“紧紧地挤”在一起，象是一片“电子云”。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
用“震荡因子”能生出很多怪例。
我的导师陈庆益先生爱说，怪例更深刻地揭示自然。
x
→0时，（1/x）sin（1/x）不是无穷大。
直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。
1/x→∞，它为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。
让我们分别取两个“子过程”来观察。
取x=1/2nπ，相应的函数值列是0数列，
又取x=1/（2nπ+π/2），相应的函数值列是2nπ+π/2，趋向+∞，你能否体会到剧烈的震荡。
x→0时，显然有0≤|xsin（1/x）|≤|x|，夹逼着xsin（1/x）→0，你可以体验x好比是个“摩擦因子”，让震荡慢慢消失。
实际上“摩擦因子”可以是x的δ次方，δ是适当小的正数。
有摩擦震荡就会最终平息。
能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。
在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或绝对值无限增大。
）那更深入一步的体验是，它们的绝对值变小（或变大）的速率是一样呢还是不同的？
我们早就有初等数学知识，“若0<
x<
1，则对同一个x，幂次n越高，幂函数x的n次方值越小。
”由此可以粗略体验到，趋于0的各个变量，其绝对值变小的速率可能是不同的。
可能有的函数趋于0时“跑得更快”。
这在理论上促成了“高阶”，“低阶”概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。
这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。
没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。
比如前述的最简单结论，“x趋于无穷时，函数1/x的极限为0”；
但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。
数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。
研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的“符号体验”来考查极限概念。
这就是
“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，（你不仿设定一点x0，当∣x∣>
x0时，）总有f（x）>
*“若x趋于x0时，
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